11Q??jTT1j2?Q.
kkk （4）
定义Q1??Qj为热机在过程中吸取的总热量，Q2??Qk为热机放出的总热量，则式（4）可表为
jQ1Q2?, （5） T1T2或
T2T?Q2Q. 11根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为
W?Q1?Q2.
热机的效率为
??WQ?1?Q2Q?1?T2. 1T1
1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T1升至T2。常数，试证明前者的熵增加值为后者的?倍。
解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为
S?CplnT?nRlnp?S0. 在等压过程中温度由T1升到T2时，熵增加值?Sp为
?Sp?CplnT2T. 1根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为
S?CVlnT?nRlnV?S0. 在等容过程中温度由T1升到T2时，熵增加值?SV为
?ST2V?CVlnT. 1所以
?Spp?S?CVC??. V16
（6） （7） 假设?是（1）
（2） （3）
（4） （5）
1.17 温度为0C的1kg水与温度为100C的恒温热源接触后，水温达到
100C。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整
个系统的熵保持不变，应如何使水温从0C升至100C？已知水的比热容为
4.18J?g?1?K?1.
解：0C的水与温度为100C的恒温热源接触后水温升为100C，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在
0C与100C之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0C升至100C。在这可
逆过程中,水的熵变为
?S水??373mcpdTT273?mcpln373373?103?4.18?ln?1304.6J?k?1. （1） 273273水从0C升温至100C所吸收的总热量Q为
Q?mcp?T?103?4.18?100?4.18?105J.
为求热源的熵变，可令热源向温度为100C的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为
?S热源4.18?105????1120.6J?K?1. （2）
373由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为
?S总??S水??S热源?184J?K?1. （3）
为使水温从0C升至100C而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在0C与100C之间的一系列热源吸热。水的熵变?S水仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和为
?S热源???373mcpdTT273??1304.6J?K?1. （4）
参与过程的整个系统的总熵变为
?S总??S水??S热源?0. （5）
1.18 10A的电流通过一个25?的电阻器，历时1s。
17
（a）若电阻器保持为室温27C，试求电阻器的熵增加值。
（b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27C，电阻器的质量为10g，比热容cp为0.84J?g?1?K?1, 问电阻器的熵增加值为多少？
解：（a）以T,p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
（b）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由Ti升为Tf，所以有
mcp(Tf?Ti)?i2Rt,
故
i2Rt102?25?1Tf?Ti??300??2?600K. 3mcp10?0.48?10电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为
?S??TfmcpdTTTi?mcplnTf600?10?2?0.84?103ln?5.8J?K?1. Ti30012
1.19 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度?T1?T2?后的熵增。
解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是l?0端温度为T2，l?L端温度为
T1?T2（设T1?T2）。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热L1传导过程，最终达到具有均匀温度?T1?T2?的平衡状态。为求这一过程的熵变，
2T1，温度梯度为
我们将杆分为长度为dl的许多小段，如图所示。位于l到l?dl的小段，初温为
T?T2?T1?T2l. （1） L
这小段由初温T变到终温?T1?T2?后的熵增加值为
1218
dSl?cpdl?T1?T22TT1?T2dT2?cpdlln, （2）
T?TTT2?12lL其中cp是均匀杆单位长度的定压热容量。
根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为
?S??dSlL?T?TT?T????cp??ln12?ln?T2?12l??dl02L????cp??T1?T2T1?T2??T1?T2??T1?T2???cpLln?T?llnT?l?T?l?? ?2??2??2T1?T2?2LLL??????0??LcLT?T?cpLln12?p?T1lnT1?T2lnT2?T1?T2?2T1?T2?T?TTlnT?TlnT2??Cp?ln12?112?1?.2T1?T2??L （3）
式中Cp?cpL是杆的定压热容量。
1.20 一物质固态的摩尔热量为Cs，液态的摩尔热容量为Cl. 假设Cs和
Cl都可看作常量. 在某一压强下，该物质的熔点为T0，相变潜热为Q0. 求在
温度为T1?T1?T0?时，过冷液体与同温度下固体的摩尔熵差. 假设过冷液体的摩尔热容量亦为Cl.
解: 我们用熵函数的表达式进行计算.以T,p为状态参量. 在讨论固定压强下过冷液体与固体的熵差时不必考虑压强参量的变化.以a态表示温度为
T1的固态，b态表示在熔点T0的固态. b, a两态的摩尔熵差为（略去摩尔熵Sm的下标m不写）
?Sba??T0T1CsdTT?Csln0. （1） TT1以c态表示在熔点T0的液相，c，b两态的摩尔熵差为
Scb?Q0. （2） T0以d态表示温度为T1的过冷液态，d，c两态的摩尔熵差为
19
?Sdc??T1T0CldTT?Clln1. （3） TT0熵是态函数，d，c两态的摩尔熵差Sda为
?Sda??Sdc??Scd??Sba?Clln?T T1Q0??Csln0T0T0T1Q0T??Cs?Cl?ln0. （4） T0T11.21 物体的初温T1，高于热源的温度T2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为
Wmax?Q?T2(S1?S2)
其中S1?S2是物体的熵减少量。
解：以?Sa,?Sb和?Sc分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为
?S??Sa??Sb??Sc.
由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求
?S??Sa??Sb??Sc?0. （1）
以S1,S2分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为
?Sa?S2?S1. （2）
热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即
?Sb?0. （3）
以Q表示热机从物体吸取的热量，Q?表示热机在热源放出的热量，W表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有
Q?Q??W,
所以热源的熵变为
?Sc?Q?Q?W?. （4） T2T2将式（2）—（4）代入式（1），即有
S2?S1?Q?W?0. （5） T220
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