引申探究
→→
1．若将本例(1)中“BC＝2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？ →→
解 BC＋CD＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， →
即BD＝4a＋(m－3)b.
→→
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD＝λAB. 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．
??4＝λ，所以?
?m－3＝λ，?
解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？ 解 因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)． 所以?
?k＝λ，?
??kλ＝1，
所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1. 故当k＝－1时两向量反向共线．
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．
→→→
跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明 (1)若m＋n＝1，
→→→→→→
则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)， →→→→
∴OP－OB＝m(OA－OB)， →→→→
即BP＝mBA，∴BP与BA共线．
→→
又∵BP与BA有公共点B，则A，P，B三点共线． →→
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA， →→→→∴OP－OB＝λ(OA－OB)．
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→→→又OP＝mOA＋nOB.
→→→→故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， →→
即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. →→
∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，
??m－λ＝0，∴???n＋λ－1＝0，
∴m＋n＝1.
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1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．
2．已知向量→AB＝a＋3b，→BC＝5a＋3b，→
CD＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
答案 B
解析 ∵→BD＝→BC＋→CD＝2a＋6b＝2→
AB，
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→→→→
∴BD与AB共线，由于BD与AB有公共点B， 因此A，B，D三点共线，故选B.
3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那→
么EF等于( )
1→1→A.AB－AD 231→1→C.AB＋DA 32答案 D
→→→解析 在△CEF中，有EF＝EC＋CF. →1→
因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.
2因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点， →2→所以CF＝CB.
3
→1→2→1→2→所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA
23231→2→
＝AB－AD，故选D. 23
→→→→1→→4．(2018·锦州模拟)在△ABC中，点G满足GA＋GB＋GC＝0.若存在点O，使得OG＝BC，且OA6→→
＝mOB＋nOC，则m－n等于( ) A．2B．－2C．1D．－1 答案 D
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1→1→B.AB＋AD 421→2→D.AB－AD 23
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