【分析】（1）先求出AC，进而求出AE=4，再用勾股定理求出DE即可得出结论； （2）分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2， ∴AC=8，
∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=AC=4， ∴OE=AE﹣OA=1， 在Rt△ODE中，DE=在Rt△ADE中，AD=
=2=2
； ；
（2）当DP=DF时，如图2，
点P与A重合，F与C重合，则AP=0； 当DP=PF时，如图4，∴∠CDP=∠PFD， ∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC， ∴∠DPF=∠C， ∵∠PDF=∠CDP， ∴△PDF∽△CDP， ∴∠DFP=∠DPC， ∴∠CDP=∠CPD， ∴CP=CD，
∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣2当PF=DF时，如图3， ∴∠FDP=∠FPD， ∵∠DPF=∠DAC=∠C， ∴△DAC∽△PDC，
；
∴∴
，
，
∴AP=5，
即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2
．
27．（14分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可； （3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标． 【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
，
解得：，即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，
联立一次函数解析式得：，
消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2， 解得：x=0或x=3， 则E（3，1）；
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H， 设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2）， ∴MH=（﹣m+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m+2m， S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH?3=﹣m2+3m+3， 当m=﹣=时，S最大=
，此时M坐标为（，3）；
2
2
（3）连接BF，如图②所示， 当﹣x2+x+20=0时，x1=
，x2=
，
∴OA=，OB=，
∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB， ∴△AOC∽△FOB， ∴
=
，即
=
，
解得：OF=，
则F坐标为（0，﹣）．
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