2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第7讲 函数的奇偶性和周期性及答案

2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第7讲 函数的奇偶性和周期性及答案

1＋x (1)由≥0，可知定义域为[－1,1)．

1－x

定义域不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数．

1－x

>0，得－1

(2)由

定义域(－1,1)关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝lg 1＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

(1)利用定义判断奇偶性的步骤：

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(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：

①图象法：f(x)的图象若关于原点对称，则f(x)为奇函数；若关于y轴对称，则f(x)为偶函数．

②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．

2??x＋x， x<0，1．(1)函数f(x)＝?2的奇偶性是(A)

?－x＋x， x>0?

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数

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(2)(经典真题)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝ 1 .

(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断)

当x<0时，－x>0，

f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，

f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－f(x)．

所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数． (方法二：用奇偶函数的图象特征判断) 画出y＝f(x)的图象，如图：

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其图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数． (2)利用奇偶函数的运算性质转化． 因为y＝x是奇函数， 又f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数， 所以y＝ln(x＋a＋x2)是奇函数，

所以ln(x＋

a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，

即ln(a＋x2－x2)＝ln a＝0，解得a＝1.

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奇偶性与单调性的综合应用