高等数学-七-多元函数微分学

一元函数和多元函数可以统一定义为点函数：

u?f(P)P???R.。a?x?y?z2222n【例1】求下列函数的定义域：（1）z?ln(x?y?1)；（2）u?〖解〗（1）要使函数有意义，

必需

yx?y?1?0x?y?1?0故得函数定义域为

1D?{(x,y)|x?y?1?0}.O1x（2）要使函数有意义，必需

a?x?y?z?0故得函数定义域为

2222??{(x,y,z)|x?y?z?a}.【例2】已知

2222f(x?y,x?y)?x?y?1求f(x,y).【解】令u?x?y,v?x?y,可得故

22f(u,v)?uv?1,f(x,y)?xy?1.□

三、二元函数极限

义. 如果对于任意的正数ε,均有正数δ存在,使得对满足定义2设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域内有定0?|PP0|?(x?x0)?(y?y0)??22的一切点P(x,y)恒成立|f(x,y)?A|??则称常数A为函数f(x,y)当点(x,y)趋向(x0,y0)时的二重极限,记为x?x0y?y0limf(x,y)?A1、二重极限存在的充要条件是动点(x,y)以任何方式(方向,曲线)趋向定点(x0,y0)时,相应的极限均存在且相等;

2、当动点(x,y)以某种方式趋向定点(x0,y0)时,

相应的极限不存在，或以两种方式趋向定点(x0,y0)时,相应的极限虽均存在但不相等，则二重极限不

存在。

3、有关极限的运算法则和重要极限等可类似地在重极限中加以应用.