高等数学-七-多元函数微分学 - 图文

dz?z3、记号与的区别:

dx?xdzdz?dz?dx;:表明z=f(x),且dxdx?z?z??z??x.:表明z=f(x,y),但

?x?x4、对一元函数:可导一定连续,连续不一定可导;但

对多元函数:可导与连续已经没有必然关系;[多元函数与一元函数的重要区别!]

【例1】设函数

?xy22?22,x?y?0,f(x,y)??x?y22?x?y?0,?0,求其在点(0,0)处的偏导数。该函数在

原点可导,

〖解〗因为(0,0)是分段函数的分界点,故只能利用

但不连续!

定义求偏导数:

f(x,0)?f(0,0)0?0?0;fx(0,0)?lim?limx?0x?0xxf(0,y)?f(0,0)0?0fy(0,0)?lim?lim?0.y?0y?0yy□

5、偏导数的几何意义

?z?f(x,y),偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线?x:??y?y0上点M0(x0,y0,z0)处切线

TyTx相对于x轴的斜率:fx(x0,y0)?tan?.★图中画的是fy(x0,y0)的几何意义.

zM0?ox0y0yx?二、多元显函数偏导数的计算

根据偏导数定义,不难看出求显函数的偏导数本质上就是求一元函数的导数.

对二元函数显函数z=f(x,y)：?z-----视y为常数，对x求导数；?x?z-----视x为常数，对y求导数。?y同理，对三元显函数u=f(x,y,z):?u-----视y,z均为常数，对x求导数；其余类推。?x