1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)

f(x)[(1)【答案】e1f??lnx??f??x?f?lnx?]dx x【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：

由y?f(lnx)ef(x) 可知

dy?1f??lnx?ef(x)dx?f?lnx?ef(x)f??x?dxx

1?ef(x)[f??lnx??f??x?f?lnx?]dx.x

(2)【答案】

?4??【分析】本题中【解析】令

?110f(x)dx是个常数,只要定出这个数问题就解决了.

1?A1?x2,两边从0到1作定积分得 21?x?10f(x)dx?A,则f(x)?A??解得A?1dx???12?A1?xdx?arctanx?A??A, ?0001?x2444?4??.

【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分

?101?x2dx表示单位圆

在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用. (3)【答案】yt?C?(t?2)2t

【解析】对应的齐次差分方程是yt?1?yt?0,显然有不恒等于零的特解yt?1. 因方程的右端函数f(t)?t2,可设非齐次差分方程的特解有形式

ty??(At?B)2t,

代入方程得 (At?2A?B)2?t2,ttt?0,1,2,.

.由于2t?0,于是

At?2A?B?t,t?0,1,2,可确定A?1,B??2,即非齐次差分方程有一个特解是y?(t?2)2. 从而,差分方程的通解是yt?C?(t?2)2. (4)【答案】?2?t?t?t2

【解析】二次型f(x1,x2,x3)对应的矩阵为

??2?A??1???0?11t2?0??t?. 2??1??因为f正定?A的顺序主子式全大于零.又

?1?2,?2?故f正定?1?211?1,?3?A?1?t2, 11212t?0,即?2?t?2. 2(5)【答案】t分布,参数为9 【解析】由X1,2,X9是来自总体X的简单随机样本,故X1,,X9独立,且都服从正态

分布N(0,3).类似有Y1,,Y9相互独立,且都服从正态分布N(0,32).

又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即

X??X1?其中??E(X?)?E(X1??X9~N(?,?2).

?X9),?2?D(X?)?D(X1??X9)?EX1?EX2??X9). ?EX9?0；

由期望的性质,??E(X?)?E(X1?由独立随机变量方差的性质,?2?D(X?)?D(X1?故X?~N(0,9).

因Y1,2?X9)?DX1??DX9?81,

,Y9~N(0,32),故

92Yi?0~N(0,1),(i?1,2,3,9),所以,

?Y?Y????i?~?2(9).

i?1?3?X??0X??02?~N(0,1),故9~t(9). 由t分布的定义,现已有X~N(0,9),将其标准化得

9Y?9化简有X?~t(9),即9Y?X1??X9X??X9?1~t(9).

221Y1??Y99?(Y12??Y92)9

【相关知识点】1.数学期望的性质：E(aX?bY?c)?aE(X)?bE(Y)?c,其中a,b,c为常数.

2.方差的性质：X与Y相互独立时,D(aX?bY?c)?a2D(X)?b2D(Y),其中a,b,c为常数.

3.?2分布的定义：若Z1,2i2,Zn相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则

nZ~?(1),?Zi2~?2(n).

i?14.若Z~N(u,?2),则

Z?u?~N(0,1).

5.t分布的定义：若X~N(0,1),Y~?2(n),X,Y独立,则T?XY~t(n). n

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(B)

【分析】只要求出极限 limx?0f(x)就能判断出正确的选项. g(x)【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得

sint2dtf(x)(sinx)sin(1?cosx)2?0lim?lim?limx?0g(x)x?0x?0x5x6x4(1?x)?56

15x21x(1?cosx)4?limlim?lim4?0,4x?01?xx?0x?0xx故应选(B).

【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若F(t)?阶可导,则

1?cosx???(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一

F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.

2.无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,?(x),?(x)为无穷小且存在极限 lim(1) 若l?0,称?(x),?(x)在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若l?1,称?(x),?(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为?(x)

?(x)?l, ?(x)?(x)；

(3) 若l?0,称在该极限过程中?(x)是?(x)的高阶无穷小,记为?(x)?o??(x)?. 若lim?(x)不存在(不为?),称?(x),?(x)不可比较. ?(x)(2)【答案】(C)

【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.

方法1：由f(?x)?f(x)(??,??)知,f(x)的图形关于y轴对称.由在(??,0)内,

f??x??0且f??(x)?0知,f(x)的图形在(??,0)内单调上升且是凸的；由对称性知,在

(0,??)内,f(x)的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).

方法2：由f(?x)?f(x)可知?f?(?x)?f?(x),f??(?x)?f??(x).

当x?(0,??)时,?x?(??,0),此时由题设知f???x??0,f??(?x)?0,则

f?(x)?0,f??(x)?0,x?(0,??),

故应选(C).

方法3：排除法.取f(x)??x2,易验证f(x)符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).

方法4：由题设可知f(x)是一个二阶可导的偶函数,则f?(x)为奇函数,f??(x)为偶函数,又在(??,0)内f?(x)?0,f??(x)?0,则在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0,故应选(C). (3)【答案】(C)

【分析】这一类题目最好把观察法与(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)C技巧相结合. 【解析】对于(A),??1??2????2??3????3??1??0,即存在一组不全为零的数1, -1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知?1??2,?2??3,?3??1线性相关,排除(A)；

对于(B),??1??2????2??3????1?2?2??3??0,即存在一组不全为零的数1,1, -1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知?1??2,?2??3,?1?2?2??3线性相关,排除(B)；

对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数k1,k2,k3,使得

k1??1?2?2??k2?2?2?3?3??k3??1?3?3??0,