整理得 ?k1?k3??1??2k1?2k2??2??3k2?3k3?a3?0.
?k1?k3?0?已知?1,?2,?3线性无关,上式成立,当且仅当?2k1?2k2?0 ①
?3k?3k?03?2101因①的系数行列式220?12?0,故①有唯一零解,即k1?k2?k3?0.故原向量组
033?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1线性无关.应选(C).
或者也可以将?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1用?1,?2,?3线性表出,且写成矩阵形式,有
?101?记????1?2?2,2?2?3?3,3?3??1????1,?2,?3??220????1,?2,?3?C,
??033??C?12?0,则C可逆,故两向量组是等价向量组,由?1,?2,?3线性无关知?1?2?2, 2?2?3?3,3?3??1线性无关.
(4)【答案】(D)
【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.
?10???10?例如,若A???,B??02?,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负
03????惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；
若A???10???10?,则 ,B?????03??02??11???10???12?AB????02???06?,
03????????10??11???1?1?BA????,AB?BA. ?????02??03??06?故(A)不成立；应取(D).
方法2：因A,B是同阶(设为n)可逆阵,故有r?A??r?B??n,而
r?A??r?B??A,B等价?存在可逆阵P,Q使得PAQ?B.
(这里只需取P?A,Q?B,既有PAQ?ABA?B成立),故应选(D).
?1?1
或者,因A,B是同阶可逆阵,故A,B均可以通过初等行变换化成单位阵,
A? E,B? E,
即存在初等阵P?P,P12,行变换行变换Ps,W?W1,W2Wr,使得
PA?E,WB?E,
?1从而有PA?E?WB,得PAW?1?PAQ?BW?Q.故(D)成立.
??(5)【答案】(A)
【解析】因X和Y相互独立, 而
11P?X??1??P?Y??1??,P?X?1??P?Y?1??,
22故有：
111P?X??1,Y??1??P?X??1?P?Y??1????；
224111P?X??1,Y?1??P?X??1?P?Y?1????；
224111P?X?1,Y??1??P?X?1?P?Y??1????；
224111P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1????；
224111P?X?Y??P?X??1,Y??1??P?X?1,Y?1????,
442故(A)正确,(B)错；
P?X?Y?0??P?X??1,Y?1??P?X??1,Y?1??故(C)错；
111??, 442P?XY?1??P?X??1,Y??1??P?X?1,Y?1??故(D)错.
三、(本题满分6分.)
111??, 442【分析】要证明limQ(x)?Q,只须证明limlnQ(x)?lnQ即可,因为Q(x)为指数函数,因
x?0x?0此化为对数形式便于极限计算. 【解析】因为lnQ(x)?lnA?1ln[?K?x?(1??)L?x],而且 xln[?K?x?(1??)L?x]limx?0x??K?xlnK?(1??)L?xlnL?limx?0?K?x?(1??)L?x???lnK?(1??)lnL??ln(K?L1??),
所以, limlnQ(x)?lnA?ln(KLx?0?1??)?ln(AK?L1??),
于是, limQ(x)?AKLx?0?1???Q.
四、(本题满分5分.) 【解析】由题设有
du?f?fdy?fdz. (*) ???dx?x?ydx?zdx在exy?y?0中,将y视为x的函数,两边对x求导,得
dydydyyexyy2e(y?x)??0???. (1) xydxdxdx1?xe1?xyxy在e?xz?0中,将z视为x的函数,两边对x求导,得
zezdzdzdzzz?z?x?0??z?. (2) dxdxdxe?xxy?x将(1)、(2)两式代入(?)式,得
du?fy2?fz?f. ???dx?x1?xy?yxy?x?z【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若u?u(x,y)和v?v(x,y)在点(x,y)处偏导数存在,函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z?f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处的偏导数存在,且
?z?f?u?f?v?z?f?u?f?v??,??. ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y
五、(本题满分6分)
【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系?(x),它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出?(x)后,满足??(x0)?0的x0即为利润最大时的销售量,此时,x0(t)是t的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额T?tx(t),再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t. 【解析】(1)设T为总税额,则T?tx.商品销售总收入为
R?px?(7?0.2x)x?7x?0.2x2.
利润函数为 ??R?C?T?7x?0.2x2?3x?1?tx??0.2x2?(4?t)x?1.
令??(x)?0,即?0.4x?4?t?0,得x?由于???(x)??0.4?0,因此,x?4?t5?(4?t). 0.425(4?t)即为利润最大时的销售量. 25552(2)将x?(4?t)代入T?tx,得T?t?(4?t)?10t?t.
222由T?(t)?10?5t?0,得惟一驻点t?2；由于T??(t)??5?0,可见当t?2时T有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.
六、(本题满分6分)
F(x)?F(0),且当x?0时,F??(x)?0【分析】当x?0时,F(x)显然连续,故只要证lim?x?0即可.
【解析】方法1：显然x?0时,F(x)连续,又由洛必达法则知
x?0limF(x)?lim??x?0?x0tnf(t)dtxn?limxf(x)?0?F(0), ?x?0所以F(x)在[0,??)上连续.
当x?(0,??)时,
F?(x)?xn?1f(x)??tnf(t)dt0xx2xn?1f(x)??nf(?)x?,0???x. 2xnnnn由于f(x)单调不减,故f(x)?f(?),又x??,从而xf(x)??f(?).
于是有F?(x)?0?0?x????.故F(x)在[0,??)上单调不减.
xn?1f(x)??tnf(t)dt0x方法2：连续性证明同上.由于
F?(x)?xx02x??xnf(x)dt??tnf(t)dt0x2??x
0[xnf(x)?tnf(t)]dtx2?0,可见,F(x)在[0,??)上单调不减.
【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于
F?(x)的不同处理方法.
相关推荐：
loading