2018-2019学年湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳
五中、荆州中学等八校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）cos（﹣300°）等于（ ） A．﹣
B．﹣
C．
D．
，则|z|＝（ ）
C．?
D．
2．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R），若A．{0}
B．{1}
3．B＝{（5分）已知集合A＝{x|0＜log2（x+5）＜2}，A．{0}
B．{1}
C．?
}， 则A∩B＝（ ）D．{x|﹣4＜x＜﹣1}
4．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，则a＞0，b＞0，c＞0”时应假设为（ ） A．a，b，c均不为正数 C．a，b，c不全为正数
B．a，b，c至少有一个正数 D．a，b，c至多有一个正数
5．（5分）设，是单位向量，且，的夹角为60°，则＝3+的模为（ ） A．
B．13
C．4
D．16
6．（5分）设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） ①Q∈α，l?α?Q∈l ②l∩m＝Q，m?β?l∈β
③l∥m，l?α，Q∈m，Q∈α?m?α
④α⊥β，且α∪β＝m，Q∈β，Q∈l，l⊥α∈β A．①②
B．②③
C．②③
D．③④
）的值域是（ ）
，1]
D．[﹣1，
]
7．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx（其中A．[﹣1，1]
B．[
，
]
C．[
8．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，且各顶点在同一球面上，则该球体的表面积是（ ）
A．12π B．10π C．8π D．6π
9．（5分）已知a＝ln2，b＝log23，c＝log58，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
，BC＝
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
10．（5分）在△ABC中，AC＝A．C．
或
，则∠B的取值范围是（ ） B．D．
^ 或
11．（5分）两个好朋友小聪和小明，在同一天小聪从深圳到黄石，中午到武汉站的时间为13：30，然后再乘坐城际铁路到黄石，中间有1小时在武汉站候车室休息．小明从沌口00?15：00之间任一时刻到达，开发区坐出租车到武汉站，小明到达武汉站的时间为14：然后乘坐发车时间为15：30的高铁到北京，那么两个好朋友能够在武汉站会面的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
12．（5分）已知双曲线（a＞b＞0）的左焦点为F，过原点直线与双曲线相交
于A，B两点，已知|AB|＝20，|AF|＝16，且cosA．5
B．3
C．2
，则双曲线的离心率（ ）
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某高中对学生春节期间观看亚洲杯的调查，该校高一有800人，高二有900人，高三有1300人，现采用分层抽样随机抽取60人，则高三年级应抽取 人． 14．（5分）在直角△AOB中，∠AOB＝90°，AB相交于C，则
在
上的投影为 ．
，OC平分∠AOB且与
15．（5分）已知抛物线方程为x2＝12y，过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
16．（5分）已知函数 ，给出下列命题，其中正确命题的序号是 ．
；
（1）x1，x2是f（x）＝3的两个不相等的根，则（2）（3）（4）
是函数f（x）的对称中心；
也是函数的对称中心； 是函数f（x）的对称轴．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a2，b4＝a4．求
（1）{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝
令Tn＝c1+c2+…+cn，求T10．
，在正项等比数列{bn}中，b3＝
18．（12分）如图：正三棱柱ABC﹣A1B1C1中BC＝2，CC1＝2，点P在平面ABB1A1中，且PA1＝PB1＝
（1）求证：PC1⊥AB； （2）求三棱锥P﹣A1B1C的体积
19．（12分）某公司准备加大对一项产品的科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到x，y之间的一组数，其中x单位：百万元）是科技改造的总投入，y（单位：百万元）是改造后的额外收益．
X y 其中
2 5 3 8 5 12 7 14 8 16 是对当地GDP的增长贡献值．
（1）若从五组数据中任取两组，求至少有一组满足G（x，y）≥25的概率；
l1：y＝2x+1，（2）对于表中数据，甲、乙两个同学给出的拟合直线方程为：试用最小二乘法判断哪条直线的拟合程度更好．（附合度越好．） 20．（12
分）已知椭圆
，
；Q越小拟
（a＞b＞0）的离心率
是椭圆上三个不同的点，F为其右焦点，
且|AF|，|BF|，|CF|成等差数列 （1）求椭圆的方程； （2）求m+p的值；
（3）若线段AC的垂直平分线与x轴交点为D，求直线BD的斜率k． 21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+bx．
（1）函数f（x）在（1，f（1））点的切线l方程为2x+y＝0，求a，b的值，并求函数f（x）的最大值；
（2）当a＝0，b＝l且t∈（0，+∞），关于x的方程tf（x）＝x2有唯一实数解，求实数t的值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知直线l：p（cosθ+sinθ）＝2与曲线C：C：p＝4cosθ． （1）若直线l与曲线C有两个交点A，B，求|AB|；
（2）若点P是曲线上与A，B相异的任一点，求△PAB面积的最大值． [选修4一5：不等式选讲]
23．（1）已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为2，求a与b的关系； （2）若a，b满足（1）中的条件，求9a+3b的最小值．
2018-2019学年湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校高三（下）第二次联考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）cos（﹣300°）等于（ ） A．﹣
B．﹣
C．
D．
【分析】利用三角函数关系式与诱导公式即可求得cos（﹣3000）的值． 【解答】解：∵cos（﹣300°）＝cos（﹣360°+60°）＝cos60°＝． 故选：C．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题． 2．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R），若A．{0}
B．{1}
C．?
，则|z|＝（ ）
D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x，y值，代入复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵
，
∴2+4i＝（1+i）（x+yi）＝（x﹣y）+（x+y）i， 则
，即x＝3，y＝1．
∵z＝x+yi， ∴|z|＝
．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．
3．B＝{（5分）已知集合A＝{x|0＜log2（x+5）＜2}，A．{0}
B．{1}
C．?
}， 则A∩B＝（ ）D．{x|﹣4＜x＜﹣1}
【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|0＜log2（x+5）＜2}＝{x|﹣4＜x＜﹣1}， B＝{∴A∩B＝?． 故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，则a＞0，b＞0，c＞0”时应假设为（ ） A．a，b，c均不为正数 C．a，b，c不全为正数
B．a，b，c至少有一个正数 D．a，b，c至多有一个正数
}＝{y|y＝0}，
【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立
【解答】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“a＞0，b＞0，c＞0”的否定为：“a，b，c不全为正数”， 故选：C．
【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
5．（5分）设，是单位向量，且，的夹角为60°，则＝3+的模为（ ） A．
B．13
C．4
，从而可求出
D．16
，进
【分析】根据条件即可得出而可得出的模． 【解答】解：∵∴∴故选：A．
．
；
；
【点评】考查单位向量的概念，向量夹角的定义，以及向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法．
6．（5分）设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给
出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） ①Q∈α，l?α?Q∈l ②l∩m＝Q，m?β?l∈β
③l∥m，l?α，Q∈m，Q∈α?m?α
④α⊥β，且α∪β＝m，Q∈β，Q∈l，l⊥α∈β A．①②
B．②③
C．②③
D．③④
【分析】根据空间点，线面之间的位置关系进行判断即可．
【解答】解：①Q∈α，l?α，则Q∈l不一定成立，故①错误，排除A，
②l∩m＝Q，m?β，则l∈β不一定成立，只有两个不同的点同时在平面β内才成立，故②错误，排除B，C，
③l∥m，l?α，Q∈m，Q∈α?m?α，正确
④α⊥β，且α∪β＝m，Q∈β，Q∈l，l⊥α∈β，正确 故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间点，线面位置关系的判断，结合定义和性质是解决本题的关键．
7．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx（其中A．[﹣1，1]
B．[
，
]
C．[
，1]
）的值域是（ ） D．[﹣1，
]
【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．
【解答】解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx＝cos2x﹣sin2x＝∵，1]， 故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题． 8．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，且各顶点在同一球面上，则该球体的表面积是（ ）
，∴2x+
∈[
，
]，∴cos（2x+
）∈[﹣1，
cos（2x+
），
]，故f（x）∈[﹣
A．12π B．10π C．8π D．6π
【分析】根据题意把该三棱锥放入长方体中，知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的表面积．
【解答】解：根据三视图知，把该三棱锥放入长宽高分别为2、
、
的长方体中，如
图所示；
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以外接球的直径满足 （2R）2＝PC2＝22+
+
＝12，
所以外接球的表面积是4πR2＝12π． 故选：A．
【点评】本题考查了三视图与直观图的关系，也考查了空间想象能力与转化能力，是基础题．
9．（5分）已知a＝ln2，b＝log23，c＝log58，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜c＜b 【分析】容易得出关系． 【解答】解：∵∴a＜c＜b． 故选：A．
【点评】考查对数函数的单调性，以及对数的运算．
，
；
B．a＜b＜c
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a ，从而得出a，b，c的大小
10．（5分）在△ABC中，AC＝A．C．
或
，BC＝，则∠B的取值范围是（ ） B．D．
^ 或
【分析】设AB＝x（B的范围．
【解答】解：设AB＝x，则由余弦定理可得，
），利用余弦定理建立cosB关于x的函数，从而求出
，
＝
，
根据余弦函数的性质可知，故选：B．
．
【点评】本题考查余弦定理的应用，属于中档题目．
11．（5分）两个好朋友小聪和小明，在同一天小聪从深圳到黄石，中午到武汉站的时间为13：30，然后再乘坐城际铁路到黄石，中间有1小时在武汉站候车室休息．小明从沌口00?15：00之间任一时刻到达，开发区坐出租车到武汉站，小明到达武汉站的时间为14：然后乘坐发车时间为15：30的高铁到北京，那么两个好朋友能够在武汉站会面的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，以面积为测度，根据面积之比得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，且于小明到达的时间有关， ∵试验发生包含的所有事件对应的测度为14：00﹣15：00＝60分钟， 其中能够在武汉站会面的测度为14：00﹣14：30＝30分钟 ∴两人能够会面的概率p＝故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用面积为测度是解决本题的关键． 12．（5分）已知双曲线
（a＞b＞0）的左焦点为F，过原点直线与双曲线相交＝，
于A，B两点，已知|AB|＝20，|AF|＝16，且cosA．5
B．3
C．2
，则双曲线的离心率（ ）
D．
【分析】在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而求得离心率．
【解答】解：在△AFB中，|AB|＝20，|AF|＝16，且cos
，由余弦定理可得|AF|2
＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，
从而可得（|BF|﹣12）2＝0，解得|BF|＝12．
设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形． ∴|BF′|＝16，|FF′|＝10．
∴2a＝|16﹣12|，2c＝20，解得a＝2，c＝10． ∴e＝＝5． 故选：A．
【点评】熟练掌握余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）某高中对学生春节期间观看亚洲杯的调查，该校高一有800人，高二有900人，高三有1300人，现采用分层抽样随机抽取60人，则高三年级应抽取 26 人． 【分析】利用分层抽样的性质直接求解．
【解答】解：某高中对学生春节期间观看亚洲杯的调查， 该校高一有800人，高二有900人，高三有1300人， 现采用分层抽样随机抽取60人， 则高三年级应抽取：60×故答案为：26．
＝26．
【点评】本题考查高三应抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）在直角△AOB中，∠AOB＝90°，AB相交于C，则
在
上的投影为 ．
，OC平分∠AOB且与
【分析】如图距离直角坐标系，求出C的坐标，利用向量的数量积求解即可． 【解答】解：在直角△AOB中，∠AOB＝90°，如图：建立直角坐标系，
，
OC平分∠AOB且与AB相交于C，可得A（1，0），B（0，2），AB的方程为：2x+y＝2，则C（，），
则在上的投影为：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，求解C的坐标是解题的关键．
15．（5分）已知抛物线方程为x2＝12y，过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝ 12
+6 ．
【分析】直线l的方程与抛物线方程联立得关于x的一元二次方程，可得x1+x2值，再根据抛物线定义即可求得弦长．
【解答】解：抛物线方程为x2＝12y，可得焦点坐标（0，3）， 由题意得：直线l的方程为y＝代入x2＝12y，得：x2﹣12
x+3，
x﹣36＝0．
，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则：x1+x2＝12由抛物线定义得：弦长|AB|＝x1+x2+p＝12故答案为：12
+6．
+6．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的性质与方程，属中档题． 16．（5分）已知函数（2）（3） ．
（1）x1，x2是f（x）＝3的两个不相等的根，则（2）（3）（4）
是函数f（x）的对称中心；
也是函数的对称中心； 是函数f（x）的对称轴．
；
，给出下列命题，其中正确命题的序号是 （1）【分析】（1）根据正切函数的周期性进行判断 （2）根据正切函数的对称中心即可判断（2）（3） （4）正切函数不存在对称轴
【解答】解：（1）函数的最小正周期T＝
，
，k≠0，则
成
若x1，x2是f（x）＝3的两个不相等的根，则x1﹣x2＝立； （2）由2x+当k＝0时，（3）由（2）知
＝
，得x＝
﹣
，即函数的对称中心为（﹣ ，0），k∈Z，
是函数f（x）的对称中心；故（2）正确，
是函数的对称中心，故（3）正确；
是函数f（x）的对称
（4）f（x）只有对称中心，没有对称轴，即轴错误，
故正确的是（1）（2）（3）， 故答案为：（1）（2）（3）
【点评】本题主要考查与正切函数有关的命题的真假判断，结合正切函数的周期性以及对称性是解决本题的关键．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a2，b4＝a4．求
（1）{an}和{bn}的通项公式；
，在正项等比数列{bn}中，b3＝
（2）设cn＝令Tn＝c1+c2+…+cn，求T10．
【分析】（1）由数列的递推式：n＝1时，a1＝S1；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，计算可得所求{an}的通项公式，再由等比数列的通项公式可得所求；
（2）由题意可得T10＝（a1+a3+a5+a7+a9）+（b2+b4+b6+b8+b10），计算可得所求和． 【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且可得n＝1时，a1＝S1＝3；
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n+1﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）﹣1＝2n， 则an＝
；
，
在正项等比数列{bn}中，b3＝a2，b4＝a4．
可得b3＝a2＝4，b4＝a4＝8，可得公比q＝2，首项b1＝1， 则bn＝2n﹣1； （2）cn＝
，
可得T10＝（a1+a3+a5+a7+a9）+（b2+b4+b6+b8+b10） ＝（3+6+10+14+18）+（2+8+32+128+512）＝733．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：分组求和，化简运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图：正三棱柱ABC﹣A1B1C1中BC＝2，CC1＝2，点P在平面ABB1A1中，且PA1＝PB1＝
（1）求证：PC1⊥AB； （2）求三棱锥P﹣A1B1C的体积
【分析】（1）设A1B1 的中点为D，连接PD与DC1，由已知可得PD⊥A1B1，同理DC1⊥A1B1，由线面垂直的判定可得A1B1⊥平面PDC1，得到A1B1⊥PC1．则PC1⊥AB；
（2）由已知直接利用等积法求三棱锥P﹣A1B1C的体积． 【解答】（1）证明：设A1B1 的中点为D，连接PD与DC1， ∵PA1＝PB1，∴PD⊥A1B1， 同理DC1⊥A1B1，
又PD∩DC1＝D，∴A1B1⊥平面PDC1， ∴A1B1⊥PC1．
又∵AB∥A1B1，∴PC1⊥AB；
（2）解：∵△A1B1C1为正三角形，边长为2，PA1＝PB1＝∴
＝
．
．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19．（12分）某公司准备加大对一项产品的科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到x，y之间的一组数，其中x单位：百万元）是科技改造的总投入，y（单位：百万元）是改造后的额外收益．
X y 其中
2 5 3 8 5 12 7 14 8 16 是对当地GDP的增长贡献值．
（1）若从五组数据中任取两组，求至少有一组满足G（x，y）≥25的概率； l1：y＝2x+1，（2）对于表中数据，甲、乙两个同学给出的拟合直线方程为：试用最小二乘法判断哪条直线的拟合程度更好．（附合度越好．）
【分析】（1）由题知后两组数据满足条件，从五组数据中任意取出两组有10种情况，满足条件有后面两组，有一且满足条件的有2×3＝6种，两组均可有1种，共7种情况，
，
；Q越小拟
由此能求出至少有一组满足G（x，y）≥25的概率．． （2）列表格求出Q1＜Q2，从而直线L1拟合度更好． 【解答】解：（1）由题知后两组数据满足条件： 从五组数据中任意取出两组有10种情况，
（如ABCDE中取出两个有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种），满足条件有后面两组，有一且满足条件的有2×3＝6种， （如AD，BD，CD《AE，BE，CE）， 两组均可有1种，（如DE），共7种情况， 故至少有一组满足G（x，y）≥25的概率P＝（2）如表格：
x y y＝2x+1
x y y＝ 2 5 3.5 ＝4，
Q1＜Q2，
∴直线L1拟合度更好．
【点评】本题考查概率的求法，考查最小二乘法的应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20．（12
分）已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率
3 8 6 5 12 11 7 14 16 ＝17.5，
8 16 18.5 2 5 5 3 8 7 5 12 11 7 14 17 8 16 17 ．
是椭圆上三个不同的点，F为其右焦点，
且|AF|，|BF|，|CF|成等差数列 （1）求椭圆的方程；
（2）求m+p的值；
（3）若线段AC的垂直平分线与x轴交点为D，求直线BD的斜率k． 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上，即可求出椭圆的方程， （2）由椭圆的第二定义，结合|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，即可求出m+n＝6， （3）利用点差法求出直线AC的斜率，可得直线AC的方程，即可求出点D的坐标，可得直线BD的斜率k．
【解答】解：（1）∵e＝＝， ∴a＝2c，b＝将点B代入可得∴
+
c， +
＝1，
＝1，
解得c＝2， ∴椭圆的方程为
+
＝1．
（2）由椭圆的第二定义|BF|＝ed＝e（同理可得|AF|＝a﹣me，|BF|＝a﹣pe， ∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列， ∴m+p＝6． （3）∵
+
＝1，
+
＝1，
﹣x0）＝a﹣3e，
两式相减可得∴kAC＝
＝﹣
（m+p）（m﹣p）＝﹣
，
（n+q）（n﹣q），
∴AC的中垂线为y﹣令y＝0可得x＝， ∴D（，0）为定点， ∴kBD＝﹣
．
＝（n+q）（x﹣3），
【点评】本题考查了椭圆的方程的求法，椭圆的性质，点差法，考查了运算能力和转化
能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+bx．
（1）函数f（x）在（1，f（1））点的切线l方程为2x+y＝0，求a，b的值，并求函数f（x）的最大值；
（2）当a＝0，b＝l且t∈（0，+∞），关于x的方程tf（x）＝x2有唯一实数解，求实数t的值．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b；进而得到f（x）的单调性和极值、最值；
（2）当a＝0时，方程tf（x）＝x2即x2﹣tx﹣tlnx＝0，令g（x）＝x2﹣tx﹣tlnx，对其进行求导，利用导数来函数的单调性和最值，解方程可得所求值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx+ax2+bx的导数为f′（x）＝+2ax+b， 在（1，f（1））点的切线斜率为k＝1+2a+b， 由题意可得1+2a+b＝﹣2，且a+b＝﹣2， 可得a＝b＝﹣1，
f（x）＝lnx﹣x2﹣x的导数为f′（x）＝﹣2x﹣1， 由f′（x）＝0，可得x＝（﹣1舍去），
当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减， 可得x＝处，f（x）取得极大值，且为最大值﹣ln2﹣； （2）a＝0，b＝1时，方程tf（x）＝x2即x2﹣tx﹣tlnx＝0， 设g（x）＝x2﹣tx﹣tlnx，
解g′（x）＝2x﹣t﹣＝0，得x1＝
（x1＜0舍去），
x2＝
，
可得g（x）在x∈（0，x2）单调增加，
在x∈（x2，+∞）单调减少，最大值为g（x2）， 因为tf（x）＝x2有唯一实数解，g（x）有唯一零点， 所以g（x2）＝0，
由即，
得x2+2lnx2﹣1＝0，
因为h（x）＝x+lnx﹣1单调递增，且h（1）＝0， 所以x2＝1， 从而t＝1．
【点评】此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，考查构造函数法和方程思想，此题是一道中档题．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知直线l：p（cosθ+sinθ）＝2与曲线C：C：p＝4cosθ． （1）若直线l与曲线C有两个交点A，B，求|AB|；
（2）若点P是曲线上与A，B相异的任一点，求△PAB面积的最大值．
【分析】（1）直接利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ及x2+y2＝ρ2即可化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心坐标为（2，0），半径为2，可得直线过圆心，得|AB|＝2r＝4； （2）令∠PAB＝θ，（θ∈（0，
）），代入三角形面积公式，由正弦函数的值域求解．
【解答】解：（1）由l：ρ（cosθ+sinθ）＝2，得x+y＝2． 由C：ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得x2+y2﹣4x＝0， 即（x﹣2）2+y2＝4．
∴圆心坐标为（2，0），半径为2． ∵直线过圆心，∴|AB|＝2r＝4； （2）令∠PAB＝θ，（θ∈（0，则当
时取最大值．
）），
．
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标化直角坐标，是基础题． [选修4一5：不等式选讲]
23．（1）已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为2，求a与b的关系； （2）若a，b满足（1）中的条件，求9a+3b的最小值．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质进行求解即可， （2）利用基本不等式的性质进行转化求解．
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|≥|x﹣2a﹣（x+b）|＝|2a+b|， 即f（x）的最小值为|2a+b|， 若f（x）的最小值为2， ∴|2a+b|＝2， ∵a＞0，b＞0 ∴2a+b＝2．
（2）若a，b满足（1）中的条件，则2a+b＝2． 则9a+3b≥2
＝2
＝2
＝6，
当且仅当2a＝b＝1，即a＝，b＝1时取等号 即.9a+3b的最小值为6．
【点评】本题主要考查函数最值的应用，结合绝对值不等式的性质以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键．
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