微积分期末试卷及答案 

注意事项: 1. 严禁使用草稿纸，草稿可在试卷背面书写，试卷不得拆开、撕角； 2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借； 3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。 (A) 7、求曲线y?14x?x3?1的凹凸区间和拐点. 2答案：曲线在区间(??,0]和[1,??)是凹的,在区间[0,1]是凸的． 4拐点为(0,1),(1,)． 俞诗秋 3解：(1)f(x)?C(??,??),

(2)f?(x)?2x3?3x2, f??(x)?6x2?6x?6x(x?1), (3)f??(x)?0,得x1?0,x2?1. f(0)?1,f(1)?(4) 列表如下： (0,1) x (??,0) 0 1 f??(x) + 0 - 0 f(x) 凹 拐点 凸 拐点 4(5) 曲线的拐点为(0,1)、(1,)．

34． (3分) 3(1,??) + 凹 (6) 曲线在区间(??,0]和[1,??)是凹的,在区间[0,1]是凸的． (6分) 8、计算?dx．

(1?3x)x答案：66x?6arctan6x?C 俞诗秋

t?xdxdx6t5dt解：? (3分) ??63??? 22x?t6?336t(1?t)(1?x)x(x)[1?(x)]6(1?t2)?1dt?6 ?dt?6 dt??6 ． 22??1?t1?t?6t?6arctant?C?66x?6arctan6x?C． (6分)

2005级《高等数学B(一)》试卷A A卷 第 6 页 共 8页

中 南 民 族 大 学 试 卷

9、计算?exsin2xdx．

院系: 班级: 学生: 学号:

(A)

4x1e(sin2x?cos2x)?C 俞诗秋 102111解：?exsin2xdx???exdcos2x??excos2x??excos2xdx (3分)

22211111??excos2x??exdsin2x??excos2x?exsin2x??exsin2xdx,

2424441??excos2xdx?ex(sin2x?cos2x)?C． (6分)

102

答案：

10、设某商品的需求函数为Q?100?5P,其中P,Q分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.

答案：?(10)?1,当总收益达到最大时,价格上涨1%,需求则相应减少1%.俞诗秋 解：总收益函数为R(P)?PQ?P(100?5P)?100P?5P2,

令R?(P)?100?10P?0,得P?3,而R??(10)??5?0,

可见, 当P?10时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性?(10)??PdQ5P??1, (5分)

QdPP?10100?5PP?10说明,当总收益达到最大时,价格上涨1%,需求则相应减少1%. (6分)

2005级《高等数学B(一)》试卷A A卷 第 7 页 共 8页

注意事项:

1. 严禁使用草稿纸，草稿可在试卷背面书写，试卷不得拆开、撕角；

2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借； 3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

(A)

四、证明题(每小题5分,共10分)

1、证明方程xex?1在区间(0,1)内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋 证明：显然f(x)?xex?1?C[0,1],由于f(0)??1?0,f(1)?e?1?0,

由零点定理知,??(0,1)s.t.f(?)?0,即?e??1； (3分) 又因f?(x)?(x?1)ex?0,x?(0,1),知f(x)?[0,1],

所以方程xex?1在区间(0,1)内有且只有一个实根?. (5分)

2、设f(x)在闭区间[1,2]连续,在开区间(1,2)可导,且f(2)?8f(1),证明在(1,2)内必存在一点?,使得3f(?)??f?(?). 俞诗秋

f(x)x3f?(x)?3x2f(x)证明: 令F(x)?3,F?(x)?, 6xx显然F(x)?C[1,2],F(x)?D(1,2),且F(1)?f(1)?f(2)?F(2), 8由罗尔定理知：???(1,2),s.t.F?(?)?0,所以3f(?)??f?(?).

2005级《高等数学B(一)》试卷A A卷 第 8 页 共 8页