微积分复习题

微积分复习题 一、填空题

1. 形如 的方程称为一阶线性微分方程. 答案：y??P(x)y?Q(x)

3. 形如 方程称为可分离变量微分方程. 答案：y??f(x)g(y)

3. 微分方程xy??y?0满足初始条件yx?1?2的特解为 .

2 x

4.微分方程y?sinx?ylny满足初始条件yx???e的特解为 . 答案：y?

2答案：lny?cscx?cotx

dyy5. 微分方程x?yln的通解是 .

dxxy答案：ln?1?cx

x16. 设函数z?，则其定义域为 .

ln(x?y) 答案：D?{(x,y):x?y?0且x?y?1}

17. 设函数z?，则其定义域为 . 221?x?y 答案：D?{(x,y):x?y?1} 8. 函数(x,ylim)?(0,1) 答案：1 9. 函数(x,ylim)?(2,0) 答案：2

tan(xy)? y1?xy? x2?y2 . . xy . x?0xy?4y?02? 答案：?4

11．设z?f(x,y)在点(0,1)处偏导数存在，则用定义式表达为

fx(0,1)? , fy(0,1)? . 10. 函数limf(x,1)?f(0,1)

x?0f(0,y?)f(0,1)?)lim fy(0,1 y?1y?112．设函数z?f(x,y)在D内的二阶混合偏导数fxy(x,y)?fyx(x,y)的充分条件为 .

答案：fxy(x,y),fyx(x,y)连续

答案：fx(0,1)?limx?013. 设函数z?x3y?xy3在点(x,y)可微分，则dz? . 答案：dz?(3x2y?y3)dx?(x3?3xy2)dy

?2z14. 设函数z?x?y?2xy, 则? . ?x?y?2z 答案：??8xy

?x?y442215. 设D??(x,y)x2?y2?1?，则??d?? .

D 答案：?

16. 由二重积分几何意义，??a2?x2?y2dxdy? .（D为x2?y2?a2，

Dx?0,y?0,a?0）.

141 答案：??a3??a3

83617. 设区域D由抛物线y2?x及直线y?x?2围成, 则二重积分??f(x,y)dxdy化

D成二次积分为 .

答案：??f(x,y)dxdy??dy?2f(x,y)dx

D?1y2y?218. 设区域D由抛物线y?x及直线y2?4x围成, 则二重积分??f(x,y)dxdy化成

D二次积分为 . 答案：??f(x,y)dxdy??dx?D042xxf(x,y)dy

19. 当 时, 级数??1p?1n?1n发散.

答案：p?2

?120. 级数?的敛散性是 .

n?13n 答案：发散

21. limun?0是级数?un收敛的________条件.

n???n?0 答案：必要

22. 数列{Sn}有界是正项级数?un收敛的_______条件.

n?1? 答案：充分必要

?1??123. 级数??n?是 级数（填填收敛或发散）. ?n?n?1?3 答案：发散

24．设幂级数

?axnn?1n?1?n在x??4发散，在x?3收敛，则级数

?a(?5)nn?1?n ，

答案：发散

25．幂级数

?nxn?1?的收敛域为 ，其和函数S(x)? ，

答案：（-1，1），

11(?)x2

二、选择题

1. 微分方程(y?)2?y?(y??)3?xy4?0的阶数是 (C) A．4； B．3； C．2； D．1．

2. 微分方程xdy?ydx?0的通解为(C)

A．x?y?C； B．x?y?C； C．xy?C； D．

x?C. y3. 下列各式中是常微分方程的为 (B、C)

?A. y2?y?3 B. y???y2?y? C. xy??y?(xy)? D. x?z?x?zy?y

dy?y?x3的通解为y?(B) dxx3Cx3x3x3? B. ?Cx C. ?C D. ?Cx A.

4x2345. 微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解是(C)

4. 微分方程xA．e?P(x)dx(?Q(x)e?yxP(x)dxdx?C)； B．e?Q(x)dx(?P(x)e?Q(x)dxdx?C)；

P(x)dxQ(x)dx?P(x)dx?Q(x)dxC．e?(?Q(x)e?dx?C)； D．e?(?P(x)e?dx?C)．

6. 微分方程y???()可通过如下的变量替换化成可分离变量方程(A)

y； B．u?xy； C．u?x?y； D．u?x?y． x7．若limf(x,y)?A对任何k都成立，则必有. (D)

A．u?y?kxx?0A．f(x,y)在(0,0)处连续 B．f(x,y)在(0,0)处有偏导数 C．limf(x,y)?A D．limf(x,y)不一定存在

x?0y?0x?0y?08. 二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可导(指偏导数存在)与可微的关系为(C)

A. 可导必可微； B. 可导必不可微； C. 可微必可导； D. 可微不一定可导。

9．函数f(x,y)在点(x0,y0)偏导数存在是f(x,y)在该点连续的(D)

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

10. 函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微的充分条件是函数在该点处(D)

A. 极限存在; B. 连续; C. 偏导数存在; D. 偏导数存在且连续.

?f?f?0，?0，则f(x,y)在点(x0,y0)(D) 11．若在点(x0,y0)处?x?yA．连续且可微 B．连续但不一定可微

C．可微但不一定连续 D．不一定可微也不一定连续

12. 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微，且fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0，则函数f(x,y)在(x0,y0)处(B)

A．必有极值,可能是极大,也可能是极小; B．可能有极值，也可能无极值;

C．必有极大值; D．必有极小值.

13. 记fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C,那么当 时函数f(x,y)在其驻点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0). (A)

A．AC?B2?0,A?0; B．AC?B2?0,A?0; C．AC?B2?0,A?0; D．AC?B2?0,A?0.

14. 设二元函数f(x,y)连续，D是由y?0,y?x及x?1围成的闭区域,则下面等式正确的是(B)

A. C.

??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dy； B.

001y??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dy；

001x??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dy； D.

0x10??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dy

00x115. 设二元函数f(x,y)连续，D是由y?0,y?2x及x?1围成的闭区域,则下面等式正确的是(B)

A.??f(x,y)d???dx?D01011y200f(x,y)dy； B.??f(x,y)d???dx?D012x0f(x,y)dy；

1C.??f(x,y)d???dx?f(x,y)dy； D.??f(x,y)d???dx?f(x,y)dy.

D2xD002x16. 设D为一平面有界闭区域,f(x,y)在D上连续且非负,下列结论正确的是．(B)

Ａ．??f(x,y)d?表示D的面积；

D Ｂ．??f(x,y)d?表示以D为底、以曲面z?f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积;

DＣ．??f(x,y)d?表示D的边界曲线的弧长；

DＤ．??f(x,y)d?表示曲面z?f(x,y)（(x,y)?D）的面积．

D17. 正项级数?an发散，则其部分和数列Sn?a1?a2?…?an(n=1,2,…) (B)

n?1?A.单调递增有上界； B. 单调递增无上界；

C.单调递减有下界； D. 单调递减无下界。

18．设?un?S，则按某一规律对级数添括号后，所得级数(A)

n?1?A．仍收敛于原来的和S B．仍收敛，但不一定收敛于原来的和 C．不一定收敛 D．一定发散

19. 下面收敛的级数是 (B)

????nn?11n1A.?sin; B.?(?1)。 ; C.?; D.?(?1)nnnnn?1n?1n?1n?1n?120. 下面为收敛的级数是(B)

??nn?11

A. 。 sin; B.?2; C.; D.(?1)nnnnn?1n?1n?1n?1n?1????

??21.下列级数收敛的是(C)