压缩映射原理

泛函分析题1_1压缩映射原理20070430

泛函分析题1_1压缩映射原理p9

1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．

证明：(1) 设(X, ?)是完备度量空间，A ? X，A是X的闭子集． 若{xn}是A中的Cauchy列，则{xn}也是X中的Cauchy列． 因(X, ?)完备，故{xn}收敛于X中某点x．

而A是X的闭子集，且{xn}是A中的点列，故其极限x也在A中． 因此，{xn}是子空间A中收敛列． 所以，子空间(A, ?)是完备的．

(2) 设(X, ?)是度量空间，B ? X，B是X的完备子空间． 若{xn}是B中的点列，且在X中收敛于x?X．

则{xn}是X中的Cauchy列，因此{xn}也是B中的Cauchy列． 由B是X的完备子空间，故{xn}也是B中的收敛列．

若{xn}在B中收敛于y?B，则{xn}作为X中的点列也收敛于y． 由极限的唯一性，x?y．故x?B． 所以B是X中的闭子集．

1.1.2 (Newton法) 设f是定义在[a, b]上的二次连续可微的实值函数，z?(a, b)使得f (z) = 0，f’ (z) ? 0．求证存在z的邻域U(z)，使得?x0?U(z)，迭代序列 xn +1 = xn ? f (xn)/f’ (xn) ( n = 0, 1, 2, ...) 是收敛的，并且limn?? xn = z．

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证明：首先，由f’ (z) ? 0，存在z的邻域V ? (a, b)，使得f’在cl(V)上总不为0．

设m = min {| f’(x) | x?cl(V)}，M = max {| f’’(x) | x?cl(V)}，则m > 0． 由f (z) = 0，存在z的邻域U = ( z ?? , z +? ) ? V，使得

?t?cl(U)，| f (t) | ? m2/( M + 1)．

设T : cl(U) ? ?，T(x) = x ? f (x)/f’ (x)．则T在cl(U)上是连续可微的． 则?x, y?cl(U)，存在??U，使得T(x) ? T(y) = T’(?)(x ? y)．

故| T(x) ? T(y) | = | T’(?) | · | x ? y | = | f(?) f’’(?)/f’(?)2| · | x ? y | ? m2M/(( M + 1)m2) · | x ? y | = (M/( M + 1)) · | x ? y |．

特别地，?x?cl(U)，| T(x) ? T(z) | ? (M/( M + 1)) · | x ? z | ? | x ? z | ? ?． 而T(z) = z ? f (z)/f’ (z) = z，故| T(x) ? z | ? ?，即T(x)?cl(U)． 所以，T是cl(U)上的压缩映射．

?x0?U，迭代序列xn +1 = xn ? f (xn)/f’ (xn) ( n = 0, 1, 2, ...)

就是cl(U)上的压缩映射T所产生迭代序列xn +1 = T(xn ) ( n = 0, 1, 2, ...)． 由压缩映射原理，{xn }是收敛的，并且limn?? xn = z．

1.1.3 设(X, ?)是度量空间，映射T : X ? X满足?(Tx, Ty) < ?(x, y) (?x ? y)，并且已知T有不动点，求证此不动点是唯一的．

证明：若不然，设T有不同的不动点x, y?X，则?(x, y) = ?(Tx, Ty) < ?(x, y)，矛盾．

故T的不动点是唯一的．

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1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的． 证明：设(X, ?)是度量空间，0 < ? < 1，T : X ? X是满足

?(Tx, Ty) ? ? · ?(x, y) (?x, y?X )

的压缩映射．

若{xn}是X中收敛于x的点列，则?(xn, x)? 0． 而?(Txn, Tx) ? ? · ?(xn, x)，故有?(Txn, Tx) ? 0． 因此T连续．

1.1.5 设T是压缩映射，求证T n (n??+)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立．

证明：(1) 设(X, ?)是度量空间，0 < ? < 1，T : X ? X是满足

?(Tx, Ty) ? ? · ?(x, y) (?x, y?X )

的压缩映射．

?n??+，若S = T n是压缩映射，则?x, y?X，有

?(T n+1x, T n+1y) = ?(T n(Tx), T n(Ty)) = ?(S(Tx), S(Ty)) ? ?(Tx, Ty) ? ? · ?(x, y)． 所以T n+1也是压缩映射．

由数学归纳法原理，T n (n??+)都是压缩映射． (2) 逆命题不成立的例子：

考虑T : [0, 2]? [0, 2]，其中T定义如下：

当x?[0, 1]时，T(x) = 0；当x?(1, 2]时，T(x) = x ? 1． 显然T不是压缩映射． 但?x?[0, 2]，T(T(x)) = 0．

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因此，T 2是压缩映射．

1.1.6 设M是(?n, ?)中的有界闭集，映射T : M? M满足：?(Tx, Ty) < ?(x, y) (?x, y?M，x ? y)．求证T在M中存在唯一的不动点． 证明：(反证法) 假若T在M中没有不动点．

显然，T在M上是连续的，故函数?(x, Tx)在M上连续且恒大于0． 因M是(?n, ?)中的有界闭集，故?(x, Tx)在M中某点x0处达到下确界． 0 < ?(x0 , Tx0 ) ? ?(Tx0 , T 2x0 ) < ?(x0 , Tx0)，矛盾． 所以，T在M中存在不动点． 根据1.1.3，该不动点是唯一的．

1.1.7 对于积分方程x(t) ? ? ?[0, 1] e t – s x(s) ds = y(t)，其中y(t)?C[0, 1]为一给定函数，? 为常数．| ? | < 1，求证存在唯一解x(t)?C[0, 1]． 证明：首先积分方程等价于e – t x(t) ? ? ?[0, 1] e – s x(s) ds = e – t y(t)，

令z(t) = e – t x(t)，w(t) = e – t w(t)，则方程变为z(t) ? ? ?[0, 1] z(s) ds = w(t)． 因此只要证明上面的方程有唯一解z(t)?C[0, 1]．

设T : C[0, 1] ? C[0, 1]，(Tz)(t) = w(t) + ? ?[0, 1] z(s) ds． 则?z1, z2?C[0, 1]，

| (Tz1)(t) ? (Tz2)(t) | = | ? | · | ?[0, 1] (z1(s) ? z2(s)) ds |

? | ? | · ?[0, 1] | z1(s) ? z2(s) | ds ? | ? | · max t?[0, 1] | z1(t) ? z2(t) |； 故? (Tz1, Tz2) ? | ? | · ? (z1, z2)． 因此，T是C[0, 1]上的压缩映射．

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故T在C[0, 1]上有唯一不动点．

即存在唯一的z(t)?C[0, 1]，使得z(t) = w(t) + ? ?[0, 1] z(s) ds．

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