9.第九讲 一元二次方程的解法

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第九讲：一元二次方程的解法

【知识梳理】

形如ax2?bx?c?0?a?0?的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

?b?b2?4ac求根公式x?内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；

2a它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 【例题精讲】

【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：

（1）x2 –2x=0 （2） x2 –9=0 （3）(1－3x)2＝1；

（4）（t－2）（t＋1）＝0 （5）x2＋8x＝2

x2?4x?21?0 （8）x2?2x?15?0 （9）4x2?12x?9?0 （7）

（6）x2?7x?6?0

（10）?a2?4a?21?0 （11）x2?11x?18?0 （12）2x2?x?3?0

2

2

2b2?7b?15?0 （13）（xx－6）＝2 （14）（2x＋1）＝3（2x＋1） （15）

3a2?4a?4?0 （17）3b2?14b?5 （18）（16）23x2?x?3?0

（19）x4?x2?20?0 （20）(3x?5)2?5(3x?5)?6?0；

【例2】用适当的方法解下列关于x的方程（提高题）： （1）?3x?2??4x?3??5； （2）

（3）?5x?3??12?4?5x?3?； （4）?3x?1??x?1???4x?1??x?1?；

212x?2x?3327?0； 3

（5）2?3x2?23?1x?6?0。

2

????3

3

【巩固】用适当的方法解下列关于x的方程：

（1）?x?2??9?x?1??0； （2）x?6ax?b?9a；

22222

（3）2x2?22?3x?6?0。 （4）?2x?1??x?3???4x?1??3?x?。

【拓展】解方程：?6x?7??3x?4??x?1??6；

2??

【例3】解方程：x?3x?4?0。

【巩固】解方程：

（1）x?x?1?1?0； （2）xx?x?2?0。

【例4】解关于x的方程：?m?1?x??2m?1?x?m?3?0。

222

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【巩固】解关于x的方程：x2?4px?4p2?5x?10p?6?0。

【例5】已知方程x?kx?7?0与x2?6x??k?1??0有公共根。

2（1）求k的值；

（2）求二方程的所有公共根和所有相异根。

【巩固】是否存在某个实数m，使得方程x?mx?2?0和x?2x?m?0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。

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