第一节
不等关系与不等式
[知识能否忆起]
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b. 2．不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?bb，b>c?a>c a>b?a＋c>b＋c 注意 ? ? ? 可乘性 a>b???ac>bc c>0?a>b???ac
a>b>0???ac>bd c>d>0?? a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2) nna>b>0?a>b(n∈N，n≥2) 同正 [小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列命题正确的是( ) A．若ac＞bc?a＞b 11
C．若＞?a＜b
ab答案：D
2．若x＋y>0，a<0，ay>0，则x－y的值( ) A．大于0
B．等于0
B．若a2＞b2?a＞b D．若a＜b?a＜b
C．小于0 D．不确定
解析：选A 由a<0，ay>0知y<0，又x＋y>0，所以x>0.故x－y>0. 3．已知a，b，c，d均为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若a－c>b－d，c>d， 则a>b.但c>d，a>b?/ a－c>b－d.
如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c 1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 2－1 1 ＝2＋1＜3＋1. 2－1 解析： 答案：< 5．已知a，b，c∈R，有以下命题： ①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>b，则a·2c>b·2c. 其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立． 答案：②③ 1.使用不等式性质时应注意的问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用． 典题导入 S3S5[例1] 已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，试比较与的大小． a3a5 比较两个数(式)的大小 S3S5S3S5[自主解答] 当q＝1时，＝3，＝5，所以＜； a3a5a3a5当q＞0且q≠1时， 35235 S3S5a1?1－q?a1?1－q?q?1－q?－?1－q?－q－1S3S5－＝2－4＝＝＜0，所以＜. 44a3a5a1q?1－q?a1q?1－q?qa3a5q?1－q? S3S5综上可知＜. a3a5 若本例中“q＞0”改为“q＜0”，试比较它们的大小． S3S5－q－1 解：由例题解法知当 q≠1时，－＝. a3a5q4S3S5S3S5当－1＜q＜0时，－＜0，即＜； a3a5a3a5S3S5S3S5当q＝－1时，－＝0, 即＝； a3a5a3a5S3S5S3S5当q＜－1时，－＞0，即＞. a3a5a3a5 由题悟法 比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． [注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 以题试法 1．(·吉林联考)已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是( ) A．c≥b＞a C．c＞b＞a B．a＞c≥b D．a＞c＞b 解析：选A c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， ∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. 13 a－?2＋>0，∴1＋a2>a. ∵1＋a2－a＝??2?4∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a. 典题导入 [例2] (1)(2011·大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 C．a2>b2 B．a>b－1 D．a3>b3 不等式的性质 ab (2)(·包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a dc－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( ) A．1 C．3 B．2 D．4 [自主解答] (1)由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1. (2)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)， abac＋bd ∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0， dccd故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C 由题悟法 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 以题试法 2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是( ) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 11 C．若a＜b＜0，则＜ abba D．若a＜b＜0，则＞ ab 解析：选B A中，只有a＞b＞0，c＞d＞0时，才成立；B中，由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2成立；C，D通过取a＝－2，b＝－1验证均不正确． 典题导入 [例3] 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围． [自主解答] f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b. 设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. ???m＋n＝4，?m＝1，则?解得? ??m－n＝－2，n＝3.?? 不等式性质的应用 ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范围为[5,10]． 由题悟法 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
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