1.判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质.
2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试,可以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题.
以题试法
2.若a、b、c为实数,则下列命题正确的是( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a<b<0,则a2>ab>b2 11
C.若a<b<0,则< abba
D.若a<b<0,则> ab
解析:选B A中,只有a>b>0,c>d>0时,才成立;B中,由a<b<0,得a2>ab>b2成立;C,D通过取a=-2,b=-1验证均不正确.
典题导入
[例3] 已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(-2)的取值范围. [自主解答] f(-1)=a-b,f(1)=a+b. f(-2)=4a-2b.
设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
???m+n=4,?m=1,则?解得? ??m-n=-2,n=3.??
不等式性质的应用
∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤f(-2)≤10.即f(-2)的取值范围为[5,10].
由题悟法
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
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