初中数学竞赛辅导资料(70) 

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初中数学竞赛辅导资料(70)

正整数简单性质的复习

甲. 连续正整数

一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×10个，那么 n位数的个数共__________.(n是正整数)

练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.

2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数； 100110021003……19881989是_______位数.

3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个； 从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个. 二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×

2

n. 2把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.

练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.

6. 1+3+5+……+99=____________. 7. 5+10+15+……+100=_________. 8. 1+4+7+……+100=____________.

9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______

10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________. 三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和

整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；

1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.

练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.

13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：

1234567891?这个数用9除的余数是__________. ??????01112??????198位(1987年全国初中数学联赛题) 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：

① 它是一个________位数；

② 它的各位上的数字和等于________；

③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是

___________________________.

四.连续正整数的积：

① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n的阶乘. ② n个连续正整数的积能被n!整除.

如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n－1). a为整数. ③ n! 中含有质因数m的个数是??n??n??n?++…+. 2?i?????m??m??m?i

[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3… m≤n 如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：??10??10???2?=3+1=4 ?3???3?练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____

16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个 (1988

年全国初中数学联赛题)

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17. 求证：10

494

| 1989!

2

18. 求证：4! | a(a－1)(a+2) a为整数

五. 两个连续正整数必互质

练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.

乙. 正整数十进制的表示法

一. n+1位的正整数记作：an×10+an－1×10+……+a1×10+a0

其中n是正整数，且0≤ai≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位an≠0.

432

例如：54321=5×10+4×10+3×10+2×10+1.

例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A能被99整除.

42403842

证明：A=12×10+13×10+14×10+……+31×10+32×10+33

2120192

=12×100+13×100+14×10+……+31×100+32×100+33.

n n

∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100=(99+1)≡1 (mod 9)

∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23) =99k+45×11

=99k+99×5. ∴A能被99整除.

练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除 二. 常见的一些特例

n

n－1

11 nn n

111?1?=10－1, =(10 －1), (10－1). 999?9333?3???????????39n个1n个9n个3例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积. 证明：第n个数是111????1222??????2=

n个1n个212(10 n?1)×10 n+(10n?1) 99 =

1(10 n?1)(10 n+2) 910n?110n?1?3?= 3310n?110n?1?(?1) =

33=333????34. 证毕. ????3×333n个3(n?1)个3练习：21. 化简 999??????9×999??????9+1999??????9=_______________________________.

n个9n个9n个922. 化简 111????1-222??????2=____________________________________________.

2n个1n个223. 求证 111????1是合数.

1990个124. 已知：存在正整数 n,能使数111????1被1987整除.

n个1 求证：数p=111????1999??????9888????8777??????7和

n个1n个9n个8n个7 数q=111????1999??????9888????8777??????7都能被1987整除.

n?1个1n?1个9n?1个8n?1个7 (1987年全国初中数学联赛题)

25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，

则这个正整数就能被7(或13)整除.

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26. 求证：111????1×1000??????05+1是完全平方数.

n个1n?1个0丙. 末位数的性质

.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.

4k+rr

1. N (a)=N (a) a和k都是整数，r=1,2,3,4.

特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个

位数也是它本身.

2. N (a)=N (b)?N (a－b)=0?10 |(a－b).

3. 若N (a)=ann

0, N (b)=b0. 则N (a)=N (a0)； N (ab)=N (a0b0). 例题1：求①53

100

； 和 ②7

77的个位数.

解：①N (53100

)=N (34×24+4

)=N (34

)=1

②先把幂的指数77

化为4k+r形式，设法出现4的因数. 77=77－7+7=7(76

－1)+4+3

=7(72－1)(74+72

+1)+4+3

=7×4×12× (74+72

+1)+4+3 =4k+3

∴N(7

77)=N(7

4k+3

)=N(73

)=3.

练习：27. 1989

1989

的个位数是______，9

99的个位数是_______.

28. 求证：10 | (19871989

－19931991

).

29. 2210×3315×7720×5525

的个位数是______.

二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；

连续整数平方的个位数的和，有如下规律： 12，22，32，……，102

的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和

例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892

的和的个位数的数字是_______.

(1991年全国初中数学联赛题)

解：∵12，22，32，……，102

的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.

11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 以所求的个位数字是：

(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.

2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法

例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.

证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：

(n－2)2+(n－1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)

5(n2+2)=k2

. ∵ k2

是5的倍数，k也是5的倍数.

设k=5m, 则5(n2+2)=25m2

. n2+2=5m2. n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2

的倍数是8或3. 但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.

∴假设不能成立

∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 3.判断不是完全平方数的其他方法 例题3. 已知：a是正整数.

求证： a(a+1)+1不是完全平方数

证明：∵a(a+1)+1=a2

+a+1，且a是正整数

∴ a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2

，

∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间 ∴a(a+1)+1不是完全平方数

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例题4. 求证：111????1 (n>1的正整数) 不是完全平方数

n个1 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)=4(k+1)+1.

但 111????1=111????100?11=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3

n个1n-2个12

即111????1除以4余数为3，而不是1，

n个1∴它不是完全平方数.

例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.

证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.

2222

∵(2a+1)+(2b+1)=4a+4a+1+4b+4b+1

22

=4(a+b+a+b)+2.

这表明其和是偶数，但不是4的倍数，

故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.

三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.

常见的魔术数有：

a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.

(1986年全国初中数学联赛题)

四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9.

2

练习：31. 已知：n是自然数，且9n+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：___________________.

(1985年上海初中数学竞赛题)

丁. 质数、合数

?1；?然数整除)；. 1. 正整数的一种分类：?质数 (除1和本身外不能被其他自?合数(除1和本身外还能被其他自然数整除).?2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.

3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.

解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：

令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11

那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.

一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用

令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求的合数. ∵m!+i (2≤i≤n+1) 有公约数i.

练习：32. 已知质数a， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.

33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.

34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m!=22!

那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……

35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.

(这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？

4m+24n

36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：2+x 是合数.

戊.奇数和偶数

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1.整数的一种分类：?(即除以2，余数为0)?偶数：能被2整除的整数；1)?奇数：不能被2整除的整数.(即除以2，余数为

2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.

奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.

(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.

4. 其他性质：

① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.

② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数 不是平方数.

n

a) 2(n为正整数)不含大 于1的奇因数.

b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶. c) 若n个整数的积是奇数，则它们都是奇数.

33

例1. 设m 与n都是正整数，试证明m－n为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.

3322

证明：∵m－n＝（m－n）(m+mn+n).

2233

当m－n为偶数时，不论m+mn+n是奇数或偶数，m－n都是偶数；

33

∴m－n为偶数是m－n为偶数的充分条件.

22

当m－n为奇数时，m, n必一奇一偶，m，mn，n三个数中只有一个奇数， 2233

∴m+mn+n是奇数，从而m－n也是奇数.

33

∴m－n为偶数，是m－n为偶数的必要条件.

33

综上所述m－n为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.

22

例2. 求方程x－y=1990的整数解.

解：(x+y)(x－y)=2×5×199.

若x, y同是奇数或同是偶数，则 x+y，x－y都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程

左、右两边不能相等.

若x, y为一奇一偶，则x－y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.

综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等. 所以 原方程没有整数解

本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.

2

练习：37. 设n为整数，试判定n－n+1是奇数或偶数.

38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？

39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.

2

40. 求证：方程x+1989x+9891=0没有整数根.

?x1?x2?x3???xn?0；41. 已知： ? 求证：n是4的倍数.

x?x?x???x?n.n?12342. 若n是大于1的整数，p=n+(n－1)(1985年全国初中数学联赛题)

2

1?(?1)n2试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有可能.

已. 按余数分类

1. 整数被正整数 m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类. 如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k为整数，下同

模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.

……

模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.

2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.

如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6. 3. 按模m分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.

如：若a=5k1+1, b=5k2+2.

则a+b除以5 余数 是3 (1+2)；

ab除以5余2 (1×2)； 22

b 除以5余4 (2).

1989

例1. 求1989除以7的余数.

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