2020-2021中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案

2020-2021中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案

一、二次函数

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣（3）点P（4，6）． 【解析】

12

x+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；2【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣

12

t+2t+6），则N（t，﹣t+6），由2111PN?AG+PN?BM=PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数222S△PAB=S△PAN+S△PBN=的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣

1， 212（x﹣6）（x+2）=﹣

所以抛物线解析式为y=﹣

12

x+2x+6； 2（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

?b?6， ?6k?b?0??k??1解得：?，

b?6?则直线AB解析式为y=﹣x+6，

12

t+2t+6）其中0＜t＜6， 2则N（t，﹣t+6），

设P（t，﹣

1211t+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t， 222∴S△PAB=S△PAN+S△PBN 11=PN?AG+PN?BM 221=PN?（AG+BM） 2∴PN=PM﹣MN=﹣

1PN?OB 211=×（﹣t2+3t）×6 223=﹣t2+9t

2327=﹣（t﹣3）2+，

22=

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）如图2，

∵PH⊥OB于H， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH∥AO， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE∥x轴、PD⊥x轴， ∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

12

x+2x+6=6， 2解得：x=0（舍）或x=4， 即点P（4，6）．

则当y=6时，﹣

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．如图，抛物线y??y轴交于点C.

122x?x?2与x轴相交于A，B两点，（点A在B点左侧）与22

（Ⅰ）求A，B两点坐标.

（Ⅱ）连结AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S.试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点G,H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为m，点H的纵坐标为n，且使得以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的m,n的值.

【答案】（Ⅰ）A(?2,0),B(22,0)；（Ⅱ）S??当t?2(t?2)2?42(0?t?22),223,n?，或242时，S最大?42；（Ⅲ）满足条件的点m、n的值为：m??m?5215321,n??，或m??,n? 2424【解析】 【分析】

（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；

（Ⅱ）设出点P的坐标，利用S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB，即可得出结论；

（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论． 【详解】

解：（Ⅰ）抛物线y??令y?0，则?122x?x?2， 22122x?x?2?0， 22解得：x??2或x?22， ∴A?2,0,B22,0 （Ⅱ）由抛物线y??????122x?x?2，令x?0，∴y?2，∴C?0,2?， 22如图1，点P作PQ?x轴于Q， ∵P的横坐标为t，∴设P?t,p?， ∴p??122t?t?2,PQ?p，BQ?22?t,OQ?t 22∴S?SVAOC?S梯形OCPQ?SVPQB?111?2?2??2?p??t??22?t?p 222???2?t?11pt?2p?pt?2p?t?2 22?12?2?2???2t?2t?2???t?2 ??2??t?22??2?42(0?t?22)，

∴当t?2时，S最大?42；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，t?∴P?2,2，

1222， x?x?2的对称轴为x?222?2，

∵抛物线y??∴设G??m,?????2?122m?m?2?,H?,n???? 222???以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形，A?2,0， ①当AP和HG为对角线时，

??1∴2??1?2?11?1222?2??m???,2?2?0??2???2m?2m?2?n??， 2?2????23,n?， 24?∴m??②当AG和PH是对角线时，

?111?2?1?122m?2?2?,?m?m?2?0??n?2?， ∴????????22?2?2?22?2∴m???5215,n??， 24③AH和PG为对角线时，

?11?2?11?122?2?∴????2m?2,2???2m?2m?2?2???2?n?0?， 2?2????321,n?， 24即：满足条件的点m、n的值为：

∴m????m??321235215,n? ,n?，或m?,n??，或m??242424【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y??24x?8与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物3线y?ax?4ax?c经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似； （3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为y??（2）t的值为（3）t的值为

228x?x?8； 333050或； 1113106025或或； 3178（4）符合条件的点F存在，共有两个F1（4，8），F2(2?27，-8）. 【解析】

（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用

△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

236a?24a?c?0a??3， 解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知{，解得{c?8c?8∴y??228x?x?8. 33ADAEt10?2t30?，∴?，∴t?； AOAB61011(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t， ①当△ADE∽△AOB时，

②当△AED∽△AOB时，综上所述，t的值为

AEAD10?2tt50??，∴t?，∴； AOAB610133050. 或

1113(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴t?10； 360； 173t，5②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=

3?10?2t?5，∴t?6?10?2t?5，∴t?③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=∴10?2t?6t25，∴t?； 58106025. 或或

3178228x?x?8??8，解得x?2?27，33综上所述，t的值为

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴yF?yB?8，求得x=4，∴F（4，8）； ②当AD为对角线时，则yF??yB??8，∴?∵x﹥0，∴x?2?27，∴2?27,?8.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个F1（4，8），F2(2?27，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

??

4．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元． （1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】

（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y?（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：

（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000

获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y?（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000

（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65 ∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大 ∴当x＝46时，w最大值＝8640元

即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.

5．如图，抛物线y?ax2?bx?2交x轴于A(?1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点(x?6)?(x)?8，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D的坐标；

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

2122CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将VQ?．是否存在点P，使Q?恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，

说明理由．

【答案】（1）y??1232)； （2）P1(0,2)； P2(3+41,-x?x?2；点D坐标为(3，2222)；P3(

3?41,-2) ; （3）满足条件的点P有两个，其坐标分别为：（13， 2-9+13-9-13），（?13，）． 22【解析】

【分析】

1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标

(2)分两种情况进行讨论,①当AE为一边时,AE∥PD,②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标

(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(a，?123a?a?2),分情况讨22论,①当P点在y轴右侧时,②当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可 【详解】

20)两点， ，0)，B(4，解：（1）∵抛物线y?ax?bx?2经过A(?1∴??a?b?2?013，解得：a??，b?，

22?16a?4b?2?0∴抛物线解析式为：y??123x?x?2； 2213 当y?2时，?x2?x?2?2，解得：x1?3，x2?0（舍），即：点D坐标为

22(3，2)．

A，E两点都在x轴上，∴AE有两种可能：

①当AE为一边时，AE∥PD，此时点P与点C重合（如图1），∴P1(0,2)，

（2）∵

②当AE为对角线时，P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等， ∴P点的纵坐标为?2（如图2），

把y??2代入抛物线的解析式，得：?解得：x1?123x?x?2??2， 223?413?41，x2?，

223+413?41，?2)，(，?2)， 223+413?41，?2)；P3(，?2) ． 22∴P点的坐标为(综上所述：P1(0,2)； P2(（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，

123a?a?2）， 22①当P点在y轴右侧时（如图3），

点P的坐标为（a，?

CQ?xp?a，

1313PQ?yc?yp?2?(?a2?a?2)?a2?a，

2222又∵?CQ?O??FQ?P?180???CQ?P?180???PQC?90?， ?CQ?O??OCQ??90?∴?FQ?P??OCQ?,

又?COQ???Q?FP?90?，∴VCOQ?:VQ?FP，

Q'CQ'P?∴， COQ'F123a?a123∵Q?C?CQ?a，CO?2，Q?P?PQ?a?a，∴a22，?222Q'F∴Q'F?a?3，

∴OQ??OF?Q?F?a?(a?3)?3，CQ＝CQ?＝CO2?OQ'2?即a?13，∴点p的坐标为（13，②当p点在y轴左侧时（如图4），

22?32?13，

?9?13）， 2

此时a?0，?123a?a?2?0，CQ＝xP＝?a， 221313PQ＝2－（?a2?a?2）＝a2?a，

2222又∵?CQ?O??FQ?P??CQ?P??PQC?90?，?CQ?O??OCQ??90?，

∴?FQ?P??OCQ?，又?COQ???Q?FP?90? ∴VCOQ?:VQ?FP，∴

Q'CQ'P?， COQ'F123a?a， 22∵Q?C?CQ??a，CO?2，Q?P?PQ?123a?a∴?a22，∴Q'F?3?a， ?2Q'F∴OQ??Q?F?OF?3?a?(?a)?3，

CQ＝CQ?＝CO2?OQ'2?22?32?13，

此时a??13，点P的坐标为（?13，?9?13）． 2?9?13），（?13，2综上所述，满足条件的点P有两个，其坐标分别为：（13，?9?13）． 2【点睛】

此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大

6．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；

（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

2【答案】（1）y?x?2x?3；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；

?123?t?t(0＜t＜3)??22（3）S??

132?t?t(t＜0或t＞3)?2?2【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵x2+4x?3?0，∴x1??1，x2??3，∵m，n是一元二次方程

2x2+4x?3?0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线y?x?2x?3的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴{1?b?c?0b??2，∴{，∴抛物线解析式为

c??3c??3y?x2?2x?3；

（2）令y=0，则x2?2x?3?0，∴x1??1，x2?3，∴C（3，0），

∵y?x2?2x?3=(x?1)2?4，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；

（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣

3），M（t，t2?2t?3），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．

①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（t2?2t?3）=?t2?3t，∴S=

112123PM×QF=(?t?3t)=?t?t，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t

222211123PM×QF=（t2?3t）=t?t．

2222＞3时，PM=t2?2t?3﹣（t﹣3）=t2?3t，∴S=

13?t2?t (0?t?3)22综上所述，S={．

123t?t (t0或t3)22

考点：二次函数综合题；分类讨论．

7．在平面直角坐标系中，抛物线y??x2?2x?3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标； （3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（?（2，﹣5）或（1，0）． 【解析】

3，0）；（3）P7试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；

（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．

2试题解析：（1）当y??x?2x?3中y=0时，有?x2?2x?3?0，解得：x1=﹣3，

x2=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．

当y??x?2x?3中x=0时，则y=3，∴C（0，3）． ∵y??x2?2x?3=?(x?1)2?4，∴顶点D（﹣1，4）．

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．

∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．

2b??3k??7设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有：{，解得：{，∴直线C′D的解析

?k?b?4b??3式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=?（?3，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为73，0）． 7c?3a?1，解得：{，∴直线AC的解

?3a?c?0c?3（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：{析式为y=x+3．

假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线y??x2?2x?3上，

∴?m?3??m2?2m?3，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；

②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）

∵点P在抛物线y??x2?2x?3上，∴0??(2m?3)2?2(2m?3)?3，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；

③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线y??x2?2x?3上，

∴0??m2?2m?3，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．

考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．

8．如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； （2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；

（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数． 【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．

1；（4）当b=2019时“美点”的个数为2【解析】 【分析】

（1）求出A、B 的坐标，由AB=8，可求出b的值．从而得到L的解析式，找出L的对称轴与a的交点即可；

b2

（2）通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l的距离b?，配方即

4

可得出结论；

（3）由題意得y1+y2=2y3，进而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L与x轴右交点为D的坐标，即可得出结论；

（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x直线解析式a：y=x﹣2019，美点”总计4040个点，②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，“美点”共有1010个． 【详解】

（1）当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．

∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，当x=2时，y=x﹣4=﹣2，∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；

b2b2bb2（2）y=﹣（x?）?，∴L的顶点C（，）．

2244b21∵点C在l下方，∴C与l的距离b???（b﹣2）2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为

441；

（3）∵y3是y1，y2的平均数，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b?1． 2∵x0≠0，∴x0=b?x2=b．

1，对于L，当y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，211）?．

22∵b＞0，∴右交点D（b，0），∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b?（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，直线解析式a：y=x﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．

∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；

②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010

个．

故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个． 【点睛】

本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．

9．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC． （1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y． ①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-【解析】 【分析】

12

x+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2. 2（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得：AE=EF；

（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】

（1）如图，在AB上取AG=EC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN， ∴∠ECF=135°，

∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在△AGE和△ECF中，

??AGE??ECF? , ?AG?EC??GAE??CEF?∴△AGE≌△ECF， ∴AE=EF；

(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF， ∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE≌△ENF， ∴FN=BE=x， ∴S△ECF=即y=

1 (BC-BE)·FN， 21 x(4-x）， 212

x+2x（0＜x＜4)， 2∴y=-

12112x?2x??x2?4x???x?2??2， 222当x=2，y最大值=2. 【点睛】

②y????本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．

（3）当PH＝2时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或（3+17，4）． 2164或；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）55【解析】 【详解】

（1）点C（0，4），则c＝4， 二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，

将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4； （2）tan∠ACO＝

AO1＝， CO4△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO， 即：tan∠FEB＝

1或4， 4∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a， EB＝4﹣a， 则

a1a?或?4， 4?a44?a164或； 55解得：a＝

（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）； 分别延长CF、HP交于点N，

∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°， ∴∠FPN＝∠NFB，

∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE， ∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB， ∴△PNF≌△BEF（AAS）， ∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，

∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4）， ∵PH＝2，

即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，

解得：a＝1或

13?173?17或或（舍去）， 2443+17，4）． 2故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．

11．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=?OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为

12

x+bx+c表示，且抛物线上的点C到617m. 2（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=?(2)两排灯的水平距离最小是43 m． 【解析】 【详解】

12

x+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；6试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．

试题解析：（1）由题知点B(0,4),C?3,?17??在抛物线上 2???c?4?b?212?所以?17，解得?，所以y??x?2x?4 1???9?3b?c6?c?4?6?2所以，当x??答：y??b?6时，y≦t?10 2a12x?2x?4，拱顶D到地面OA的距离为10米 622?6，所以可以通过 3（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，y?（3）令y?8，即?12x?2x?4?8，可得x2?12x?24?0，解得6x1?6?23,x2?6?23 x1?x2?43 答：两排灯的水平距离最小是43 考点：二次函数的实际应用．

12．如图，已知抛物线

为A，且与y轴交于点C（0，5）。

的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。 【答案】（1）

（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4） 【解析】 【分析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。 （2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入，得∴直线BC的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入∴抛物线的解析式

。

。

。

。

，得

，得

。

，

，得

。

联立，即可求得点P的坐标。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。 ∴

∴MN的最大值是

。

。

，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。 。 。

，即

。

。

（3）当MN取得最大值时，N∵∴

由勾股定理可得，

的对称轴是

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：BH=

，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则

易得，△BEH是等腰直角三角形， ∴EH=

。

或

当

时，与，解得

当

时，与

，解得

4）。

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

或

联立，得

。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。

。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：

联立，得 或

。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－

13．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

【答案】(1)点A的坐标为（4，8）

将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 得8=16a+4b

0=64a+8b 解得a=

,b=4

x2+4x

∴抛物线的解析式为：y=-

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=∴PE=

AP=

t．PB=8-t．

t，8-t）. （4+

t）2+4(4+

PEBCPE4=,即= APABAP8∴点Ｅ的坐标为（4+∴点G的纵坐标为：-∴EG=-=-∵-t2+t.

t2+8-(8-t)

t）=-t2+8.

＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.

②共有三个时刻：t1=【解析】

401685， t2=，t3=． 3132?5（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．

14．如图，已知二次函数

过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形． 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．

（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．

（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题． 试题解析：（1）∵二次函数

过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，

；（2）

；（3）证明见解析．

∴（2）∵

，解得：

=

，∴二次函数的解析式

．

，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再

），∴抛物线为

向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，

，由

两个根，则MN=

=

，消去y整理得到

=

；

，设，是它的

（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则

CD===，由，消去y得到

，设两个根为，，则

EF=边形．

=

=

，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四

考点：二次函数综合题．

15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；

（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）y?【解析】 【分析】

（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；

（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形； （3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】

2（1）将A?1,0?、B?3,0?代入y?ax?bx?3，得：

x2?4x?3；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN

为直角三角形时，t的值为1或4．

?a?b?3?0?a?1，解得：?， ?9a?3b?3?0b??4???此二次函数解析式为y?x2?4x?3．

（2）?BCD为直角三角形，理由如下：

Qy?x2?4x?3??x?2??1， ?顶点D的坐标为?2,?1?．

当x?0时，y?x?4x?3?3，

22?点C的坐标为?0,3?． Q点B的坐标为?3,0?，

?BC?BD??3?0???0?3??2?3????1?0?222?32，

?2，

2CD??2?0????1?3?22?25．

QBC2?BD2?20?CD2，

??CBD?90?，

??BCD为直角三角形．

（3）设直线BC的解析式为y?kx?c?k?0?， 将B?3,0?，C?0,3?代入y?kx?c，得：

?3k?c?0?k??1，解得：?， ?c?3c?3???直线BC的解析式为y??x?3，

?将直线BC向上平移t个单位得到的直线的解析式为y??x?3?t．

?y??x?3?t联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：?， 2y?x?4x?3???3?9?4t3?9?4tx?x??1?2??22解得：?，?，

?y?3?2t?9?4t?y?3?2t?9?4t12??22???点M的坐标为(3?9?4t，3?2t?9?4t)，点N的坐标为(3?9?4t，

2223?2t?9?4t)．

2Q点A的坐标为?1,0?，

?3?9?4t??3?2t?9?4t?2?AM2???1??0?t?5t?7??1?t?9?4t，???????22????22?3?9?4t??3?2t?9?4t?22AN???1??0?t?5t?7??1?t?9?4t，???????22?????3?9?4t3?9?4tMN2????22???3?2t?9?4t3?2t?9?4t??????22??222????18?8t． ?2Q?AMN为直角三角形， ?分三种情况考虑：

①当?MAN?90?时，有AM2?AN2?MN2，即

t2?5t?7??1?t?9?4t?t2?5t?7??1?t?9?4t?18?8t，

整理，得：t2?t?2?0，

解得：t1?1，t2??2（不合题意，舍去）； ②当?AMN?90?时，有AM2?MN2?AN2，即

t2?5t?7??1?t?9?4t?18?8t?t2?5t?7??1?t?9?4t，

整理，得：t2?2t?8?0，

解得：t1?4，t2??2（不合题意，舍去）； ③当?ANM?90?时，有AN2?MN2?AN2，即

t2?5t?7??1?t?9?4t?18?8t?t2?5t?7??1?t?9?4t，

整理，得：9?4t1?t?9?4t?0．

??Qt?0，

?该方程无解（或解均为增解）．

综上所述：当?AMN为直角三角形时，t的值为1或4． 【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．