a≤x≤l (4)
（3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b)；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c)。
二、 弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系 在例8-4中，若将M(x)的表达式对x取导数，就得到剪力F(x)。若再将F(x)的表达式对x取导数，则得到载荷集度q。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。
QQM(x)?FAx?m?mx?ml
图8-15
设图8-15(a)所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷集度为q(x)的分布载荷。q(x)是x的连续函数，规定向上为正，选取坐标系如图所示。若用坐标为x和x?dx的两个相邻横截面，从梁中取出长为dx的一段来研究，由于dx是微量，微段上的载荷集度q(x)可视为均布载荷，见图8-15(b) 。
设坐标为x的横截面上的内力为F(x)和M(x)，在坐标为x?dx的横截面上的内力为F(x)?dF(x)和M(x)?dM(x)。假设这些内力均为正值，且在dx微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件?F?0，得
QQQyFQ(x)?[FQ(x)?dFQ(x)]?q(x)dx?0
由此导出 （8-1）
设坐标为x?dx截面与梁轴线交点为C，由?M?0，得
dxCdFQ(x)?q(x)M(x)?dM(x)?M(x)?FQ(x)dx?q(x)dxdx?02略去二阶微量
q(x)dxdx2
dM(x)?FQ(x)dx，可得
（8-2）
将式（8-2）对x求一阶导数，并利用式（8-1），得
d2M(x)?q(x)2dx （8-3）
公式（8-1）～（8-3）就是载荷集度q(x)、剪力F(x)和弯矩M(x)之间的微分关系。它表示：
（1）横截面的剪力对x的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。
（2）横截面的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。
（3）横截面的弯矩对x的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度q(x)。由此表明弯矩图的变化形式与载荷集度q(x)的正负值有关。若q(x)方向向下（负值），即
Q＜0，弯矩图为向上凸曲线；反之，q(x)方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。
根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律：
（1） 梁的某一段内无载荷作用，即q(x)?0，由
d2M(x)?q(x)2dxdFQ(x)dx?q(x)?0FQ 若
可知，F(x)?常量。 (x)?0，剪力图为沿
Qx
轴的直线，并由
dM(x)?FQ(x)?0dx可知，M(x)?常量，弯矩图为平行于x轴的
直线。
若F(x)等于常数，剪力图为平行于x轴的直线，弯矩图为向上或向下倾斜的直线。
（2）梁的某一段内有均布载荷作用，即q(x)等于常F(x)M(x)是x的二次x的一次函数，弯矩数，则剪力是FFF6kN6kNFF6kNq=3kN/mq=3kN/mq=3kN/myyydxdxdxDq(x)为正值，DA)(xA函数。剪力图为斜直线；斜线向上倾斜；)F(x)+dFA(F(x)F(x)FF(x))(++d(FxdFx)qxCF(x)F若xxBC6kNB=3kN/mCBFydxCCC2m1m1m2m1m1m1mOOOD6kNF2mF6kNFq(x)xAxx3kN/mq=若y负值，斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线，当q3kN/m(x)+dF(x)FyF(x))xM(x)MxB=Cx(x)(x)+dM(x)(M)dMM(+dxdx)(+Mqq(q=q(x)qqx()M(xdQQAAADDFDDQQQQQQQQQADxAA当为负值，即＜0时，弯矩图为上凸曲线。 （3）在集中力偶作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于该集中力的数值。此处弯矩图由于切线斜率突变而发生转折。 （4）在集中力偶作用处，剪力图不受影响，而弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的数值。 上述结论可用表8-1表示。 表8-1 各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图 载荷情况 剪力图 弯矩图 xxxxxx q=0q=0q=0FFF<0<0<0F<0F<0FM<0FFMFM梁梁>0F梁F>0F>0F>0F>0F>0 MMMFFFq<0q<0q<0xq>0xq<0qq<0>0q>0xqx<0q>0xq>0q>0xq0=q=0q=0F<0F<0FF<0F<0xFx<0x xx<0xq=常数q=常数q=常数Mq<0MqMFFF<0 q>0q>0q<0q<0q<0q>0q>0q>0q<0q>0FFFFF突变MFMM转折突变转折转折突变xxxxxx q=qq=常数常数FFC=常数CFCxxxxCCCxCxCC FFFFFMFM转折突变突变M转折转折突变=x)=x)C()2AdF(x)2mA1mD1mxFQxd)FQ(x)FQ(F(xxQ)+)dQFdxdM(xxx3kNFQ+QQ(x)FdxxQC3kNBBC3kN3kN3kN3kN?q(x)CC(((2)))2m1m1m2m1m1m()MxMx+dMxq(x)OOq=q(x)dxq(x)qxq(x)xxOFOOxxd)x(xQ)))+(d(x)Mx)M(xMM(x)M(x)+dxMq=q(xqq(3kNx=1m1m1m3kN2dM(x)dxx3kNq(x)FQ3kN3kN3kNdxF1xFQ．F3kN=3kN1?q(x)．．F=1=F3kN=2=mF=F=M=2=2mm0MM00FFBFqFBFAFOAB2(qx=)Aq=x(())dxqxqxq=1mOMOMMx3kN．．．AAAM=．m1m1.5kN1.5kNmm1.5kNF1m1=F=2m0EDBEEDBBCFACCFBD3kN3kNqF=1=．=A．2=mF1=FBFM0FmFBF2=OMMOO0=FAqq==3m4m4m4m3m3m4m4m4m4m4m4m．Am1.5kNm3kN．mm3kN3kN．MM．EDBC．．AAm1.5kNm1.5kNFQFQFQEEDDBCOCB7kN7kN4m7kN3m4m4mOOm3kN．3kN4m3kN3m4m3kN4m2kN4m4m4m2kN3m2kN．FQm3kNm3kN．1kN1kN1kNFFQx3kNx7kNFFQ3kNF3kNx5m5m5m7kN7kN3kN2kN．．．3kN3kN20.5kNmm1kN2kN2kNM20.5kNMMm．20.5kN．．1kNm16kNm1kNm16kN16kNx3kNF5m．x．x6kN3kNm6kN．m6kNm3kNFF5m5m20.5kN．mM20.5kNxxx．m20.5kNm．m．MM16kN．．m16kNm．．6kN．．6kNm16kN6kNmm6kNm．．6kNm6kNmxxx．6kNm6kN．m6kN．mQFMFQMFQM梁梁梁FQ>0FQ>0FQ>0FQ>0FQ>0FQ>0QQQDOxxFDDxx为正值，即＞0时，弯矩图为下凸曲线；xQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQmCCmCFQFQmCCCmmCFFFQFMMM突变突变C突变xxxCC不变Cx不变xCC不变CCCmxmxxmxxCCCxxCmQFFQCCCFQ不变不变xM突变M突变M不变CCmxCmxx突变CmxxFQ梁FQ6kNm梁6kN．m梁．x6kN．mFQFQ>0FQ>0xMMMFQ>0FQ>0FQ>0FQ>0 mM突变Fmm FM突变M突变F不变不变C不变CCCCCmxmxxCmxxCxC F6kNFq=3kN/mydxD利用剪力图和弯矩图的特点，可以定性 AF(x)+dF(x)F(x)xBCC2m1m1mO地描绘剪力图和弯矩图，或校验剪力图和弯 x(((Mx)Mx)+dMx)q=q(x)x矩图。 dxF3kN3kN()qxO支梁，受均 例8-6 图8-16(a)所示简x布 1m3kNF=mFF=M=．(a) Fq=MAm 1.5kN．载荷和集中力共同作用，试绘梁的内力图。EDBC （1）计算支反力 由?M(FO)?0，得 3kN．3m4m解4m4mmxxxxxxq=0q=06kN．mq=06kN．mQ<0FQQFF<0<0FQ<0FQ<0FQ<0FQM梁FQ>0FQ>0MMq<0Mq<0FQFQFQq<0q>0xq<0qq<0q>0q<0q>0>0xq>0q>0MFQMqQ=0梁梁FFQ>0FFQ>0FQ<0FQ>0FQ>0xQ<0xxxxxq=常数q=常数q=常数xxxxq=0q=0Mq<0QFQ<0FQ<0FQ<0FFQ<0q>0q<0q>0FFFQQQFMFFMMMq转折转折转折FQ突变突变Mq<0FQ突变xq>0<0xq>0q<0q>0q<0q>0q=常数FCFFCCxCxCxxxxxCxCCCxq=常数q=常数FFQM转折突变FFQFMQFMmmmFC转折突变FQM突变M转折Q突变FFQ突变M突变xxCCFCFC不变不变x不变xCCCCxCCCCxCCmxmxxmxxCxCCQQQADQQQQA10B2A?(q?AB)?7kNFQAB?6kN?AC?FD?AD?023kN2kN (b) 1kN5mF?FD?M所以 16kN． m．6kNmFy?0? 由，得 (c) x20.5kN．mA1q?AB2x?6kN?AC3kN2?3kNADm?F?0?6kN F?q?AB6kN 得 F?3kN M梁>0梁分成三段，并 F把 （2）根据F载荷作用位置F>0xxq=0图8-16 F<0F<0Mq<0F对各段的内力图形状作出分析判断，求出各段内力图q>0q<0q>0xx的起点、终点和极值点的内力值，然后将其列表如下： q=常数 FFMDAQQQQQQQ．CC突变F转折xCxmCFQ不变M突变C
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