所以S△TEF11?t?TF?d??222?12?t2?9t2?36?2t?t2?12?t?9?t?4?22?t?t2?12?2?t2?36??t?4?2， 22S△TBC?t?36??t?4?所以k?， ……………………………………12分 ?22S△TEF?t?12?令t2?12?m?12，则k?(m?8)(m?24)161924?1??2≤，……………………14分 2mmm3当且仅当m?24，即t??23时，取“?”， 所以k的最大值为
4．…………16分 3?x2?y2?1?1?8t?解法二：直线TB方程为y?x?1，联立?4，得xE?2， ……………6分
tt?4?y?1x?1?t??x2?y2?1?324t?直线TC方程为：y?x?1，联立?4，得xF?2， ……………8分
3tt?36?y?x?1?t?1TB?TC?sin?BTCS△TBC2TB?TCTBTCxT?xBxT?xC ……10分 ????k???S△TEF1TE?TF?sin?ETFTE?TFTETFxT?xExT?xF2t2?4???t2?36??tt???2， …………………………………12分 28t24tt?12?t?12????t?2t?2t?4t?36 令t2?12?m?12，则k?(m?8)(m?24)161924?1??2≤，…………………14分 2mmm3当且仅当m?24，即t??23时，取“?”，
所以k的最大值为
4． ……………………………………………………16分 312119.（1）因为an?0，当n?1时，a1?a1?a1，解得a1?1. ………………1分
2211由Sn?an2?an，
2211当n?2时， Sn?1?an?12?an?1，
221212两式相减，得（an?an(an+an?1)?0． ………………………………2分 ?1)?22又因为an?0，所以an+an?1?0， 所以an?an?1=1，
所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以an?a1?(n?1)?1?n． …………………………………………4分
ab2由b2?a2,b4?a6，得q?4?6?3，
b2a2所以bn?b2?qn?2?2?(3)n?2． ……………………………………6分 ?n, n?2k?1,k?N?,?（2）由题意得cn?? n?1?2??2?3,n?2k,k?N,所以T2m?(a1?a3??a2m?1)?(b2?b4??b2m)
m(1?2m?1)2(1?3m)m???3?m2?1， ………………………………8分 21?3T2m?1?T2m?b2m?3m?m2?1?2?3m?1?3m?1?m2?1， T2m3m?m2?12(m2?1)所以??3?m?1≤3， ……………………………10分 T2m?13m?1?m2?13?m2?1T故若2m为?cn?中的项只能为c1,c2,c3． ……………………………11分
T2m?12(m2?1)①若3?m?1=1，则3m?1?0，所以m无解． ……………………12分 23?m?12(m2?1)m?12②若3?m?1，则=23?1?m?0， 显然m?1不合题意，m?2符合题意． 23?m?1当m≥3时，即f(m)?3m?1?1?m2，则f?(m)?3m?1ln3?2m， 设g(m)?3m?1ln3?2m，则g?(m)?3m?1(ln3)2?2?0，
即f?(m)?3m?1ln3?2m为增函数，
故f?(m)≥f?(3)?0，即f(m)为增函数，故f(m)?f(3)?1?0． 故当m≥3时方程3m?1?1?m2=0无解，
即m?2 是方程唯一解．………………………………………………………………15分
2(m2?1)?3，则m2?1，即m?1. ③若3?m?123?m?1综上所述，m?1或m?2． ……………………………………………16分
20．（1）当a=?1时，f ?(x)=x2?2x?1，所以函数f(x)在[0，1]上单调减， …………2分
111
由f (1)= ，即?1?1+b=，解得b=2． ………………………4分
3332
（2） f ?(x)=x+2ax?1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=?a，
因为△=4a2+4>0，f?(x)=0有两个不等实根x1,2=?a?a2?1． …………………5分 ①当方程f ?(x)=0在区间(a，+?)上无实根时，有 ??a≤a,3解得a≥． ………………6分 ??3f(a)≥0,?②当方程f ?(x)=0在区间(??，a]与(a，+?)上各有一个实根时，有
?f?(a)?0,33?a?f?(a)<0，或? 解得?． …………………………8分 33?a?a,???a?a,3③当方程f ?(x)=0在区间(a，+?)上有两个实根时，有? 解得a??．
?3f(a)?0,?3时，f(x)在区间(a，+?)上是单调增函数； 333?a?当?时，f(x)在区间(a，?a?a2?1)上是单调减函数， 33综上，当a?在区间(?a?a2?1，+?)上是单调增函数；
当a??3时，f(x)在区间(a，?a?a2?1)，(?a?a2?1，+?)上是单调增函数， 3在区间(?a?a2?1，?a?a2?1)上是单调减函数． ……10分
（3）设P(x1，f(x1))，则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1?1，
又设过P点的切线与曲线y=f(x)相切于点Q(x2，f(x2))，x1?x2， 则Q点处的切线方程为y?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x?x2)，
所以f(x1)?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x1?x2)，
化简，得x1+2x2=?3a． ………………………12分 因为两条切线相互垂直，所以(x1+2ax1?1)(x2+2ax2?1)= ?1， 即(4x22+8ax2+3a2?1)(x22+2ax2?1)= ?1．
令t=x2+2ax2?1??(a+1)，
则关于t的方程t(4t+3a2+3)= ?1在t?[?(a2?1),0)上有解， …………………14分
112
所以3a+3=?4t??4，当且仅当t=?时，取“=”，
t2
3321
解得a?，故a的取值范围是(??,?][,??)． ……………………16分
333
徐州市2015届高三年级第三次质量检测
数学Ⅱ参考答案
21-A．如图，连结DE，交BC于点G． D 由弦切角定理，得?ABE??BCE．……………4分
而?ABE??CBE，故?CBE??BCE，
所以BE?CE． ………………6分 又因为DB?BE，所以DE为圆的直径，
所以?DCE?90?，由勾股定理可得DB=DC．………10分
21-B．解法一：
设xy?1上任意一点?x,y?在矩阵A对应的变换作用下对应的点?x?,y??，则
C O
G E
A B 2
2
2
2
?22????x????x?22?1?x????， ……………………4分 ?y??A?y????2??y???????2????22??2?x??y??,?x??2由此得? ……………………6分
2?y??y??x??,??2代入方程xy?1，得y?2?x?2?2.
所以xy?1在矩阵A对应的线性变换作用下的曲线方程为y2?x2?2．…10分 解法二：
?22????22?， …………………………………4分 A???22????22?设xy?1上任意一点?x,y?在矩阵A对应的线性变换作用下得到点?x?,y??，则
??x????y?????????2222?222??x?x?y,????x??222?，其坐标变换公式为? ??y?2???y??2x?2y,??2??22?2?x??y??,?x??2由此得? ………………………………………………………6分
2?y??y??x??,??2代入方程xy?1，得y?2?x?2?2.
所以xy?1在矩阵A对应的线性变换作用下的曲线方程为y2?x2?2．……10分 ?x?2?2cos?,221-C．解法一：将?消去参数?，得?x?2??y2?4，
?y?2sin?所以C1的普通方程为：x2?y2?4x?0． ……………………4分
将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x?y?4?0． …………………6分
?x2?y2?4x?0,?x?4,?x?2,由? 解得?或? ……………………8分
y?0y??2.???x?y?4?0,7π??所以C1与C2交点的极坐标分别为?4,0?或?22,?． …………………10分
4???x?2?2cos?,2解法二：将?消去参数?，得?x?2??y2?4，
?y?2sin?所以C1的普通方程为：x2?y2?4x?0． …………………………4分 所以C1的极坐标方程为??4cos?． …………………………6分 π??2?代入?cos?????22，得cos(2??)?， ………………………………8分
4?42?7π???． ……10分 4??21-D．证明：因为b2?c2≥2bc,a2≥0，所以a2(b2?c2)≥2a2bc ①
所以C1与C2交点的极坐标分别为?4,0?或?22,2同理b2(a2?c2)≥2ab2c ② c2(a2?b2)≥2ab c ③ ……………4分
①②③相加得2(a2b2?b2c2?c2a2)≥2a2bc?2ab2c?2abc2， ……………6分 从而a2b2?b2c2?c2a2≥abc(a?b?c)． 由a,b,c都是正数，得a?b?c?0， 因此
A z ab?bc?ca≥abc．………10分 a?b?cQ D P B x （第22题）
C y 222222
22．取BD中点E，连结AE，CE，则AE?BD， CE?BD，AE?CE?3，
222因为AC?6，所以AE?CE?AC， 所以△ACE为直角三角形所以AE?CE， 所以AE?平面BCD. ………2分 以EB,EC,EA分别为x,y,z轴，建立如图
所示空间直角坐标系，则B?1,0,0?,C0,3,0,A0,0,3，………………………3分 （1）设P?a,0,0?,CQ??CA=0,?3?,3?，
??????
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