2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第4节 数列求和及数列的综合应用

多维层次练31

[A级 基础巩固]

11111

1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋n，…的前n项和Sn

248162的值等于( )

1

A．n2＋1－n

21

C．n2＋1－n－1

2

1

B．2n2－n＋1－n

21

D．n2－n＋1－n

2

1

解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋n，

2

11112

则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋2＋…＋n)＝n＋1－n.

2222答案：A

2．数列{an}的通项公式是an＝等于( )

A．9 C．10 解析：因为an＝

1n＋

B．99 D．100 ＝

n＋1

n＋1－n， 1n＋n＋1

，前n项和为9，则n

所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(

n＋1－n)＋( n－n－1)＋…＋

(3－2)＋(2－1)＝n＋1－1，

令

n＋1－1＝9，得n＝99.

答案：B

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七

十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A．192里 C．48里

B．96里 D．24里

1

解析：由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比2

?1?a1?1－26???

数列，则

11－2

＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96

里．

答案：B

4．(2020·宁德模拟)等差数列{an}中，a4＝9，a7＝15，则数列{(－1)nan}的前20项和等于( )

A．－10 C．10

B．－20 D．20

解析：设等差数列{an}的公差为d，由a4＝9，a7＝15，得a1＋3d＝9，a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝2，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，数列{(－1)nan}的前20项和为－3＋5－7＋9－11＋13＋…－39＋41＝2＋2＋…＋2＝2×10＝20.

答案：D

5．(2019·广州模拟)数列{an}满足a2＝2，an＋2＋(－1)n＋1·an＝1＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100＝( )

A．5 100 C．2 500

B．2 550 D．2 450

解析：由an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，可得a1＋a3＝a3＋a5＝a5＋a7＝…＝0，a4－a2＝a6－a4＝a8－a6＝…＝2，由此可知，数列{an}的奇数项相邻两项的和为0，偶数项是首项为a2＝2、公差为2的50×49

等差数列，所以S100＝50×0＋50×2＋×2＝2 550.

2

答案：B

6．(2020·佛山一中检测)已知数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，则Sn＝________．

解析：Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，① 则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.② 由①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝

＋1，

2（1－2n）1－2

－n·2n

故Sn＝2＋(n－1)·2n＋1. 答案：2＋(n－1)·2n＋1

nπ

7．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin ，n∈N*，则S2 019

2＝________．

nπ

解析：an＝sin ，n∈N*，显然每连续四项的和为0.

2S2 019＝S4×504＋a2 017＋a2 018＋a2 019＝0＋1＋0＋(－1)＝0.

答案：0

8．(2020·郴州质检)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝2bn(n∈N*)，若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则{bn}的通项公式bn

?1?

＝________，数列?b?的前n项和Sn＝________．

?n?

解析：因为{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16， 3a4316

所以公比q＝＝＝2，

a12所以an＝2n，

n（n＋1）

所以a1a2a3…an＝21×22×23×…×2n＝21＋2＋3＋…＋n＝2. 2因为a1a2a3…an＝2bn， n（n＋1）所以bn＝，

2

?11?12?－?所以＝＝2?n，

bnn（n＋1）?n＋1??

?1?

所以?b?的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

?n??11111111??－＋－＋－＋…＋－?＝2?122334nn＋1? ???1??1－?＝2?? n＋1??

2n＝. n＋1

n（n＋1）2n

答案： 2n＋1

9．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1

＝b1，a14＝b4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

b39

解：(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，

b23

b2

所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1，2，3，…)．

q设等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)． (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前n项和

Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋31－3n3n－1

＝n2＋.

21－3

10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；

n－1

n（1＋2n－1）

＝＋

2