2019年中考数学压轴题解题技巧解说
数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。
综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。
下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.
抛物线y=ax+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
解：(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分
将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax+bx
8=16a+4b
2
2
得
0=64a+8b
解 得a=-
1,b=4 212
x+4x …………………3分 2PEBCPE4=,即= APABAP8∴抛物线的解析式为：y=-
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=
∴PE=
11AP=t．PB=8-t． 22
∴点Ｅ的坐标为（4+
1t，8-t）. 2∴点G的纵坐标为：-
111122
（4+t）+4(4+t）=-t+8. …………………5分
8222∴EG=-
1212
t+8-(8-t) =-t+t. 88∵-
1＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 8②共有三个时刻. …………………8分 t1=
164085， t2=，t3= ． …………………11分
1332?5压轴题的做题技巧如下：
1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定
位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。
3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 注意
1、动点题肯定是图形题，图形题是中考试重点，分值在100分以上（满分150.包括统计和概率）
2、大部分压轴题都是几何图形和代数函数图形相结合，在动点的运动中存在一些特殊情况下的边长、面积、边边关系、面积和边的关系等。特殊情况是指动点在变化过程中引起图形变化发生质的变化，如由三角形变成四边形，由四边形变成五边形，这时一定要注意分类讨论
3、知识的储备：熟练掌握所有相关图形的性质。a、三角形（等腰、直角三角形）b、平行四边形（矩形、菱形、正方形）c、圆 d、函数（一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数）
4、坐标系中的四大金刚：① 两个一次函数平行，K值相等；② 两个一次函数互相垂直，K值互为负倒数。③ 任意两点的中点坐标公式；④ 任意两点间距离公式。函数图形与x，y坐标轴的交点连线的夹角也常常用到，所以要小心;有些特殊点会形成特殊角，这一点也
要特别注意。
5、做题思路，有三种。
1、把几何图形放到坐标系中看看数据的变化。 2、把坐标系中的图形提出坐标系看看图形的变化。
3、把图形最难理解的部分提炼出来重点分析（即去掉无用的图形线段）。
压轴题解题技巧题型分类解说
一、 对称翻折平移旋转
1．（南宁）如图12，把抛物线y??x（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E. （1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；
（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由. （3）在抛物线l1上是否存在点M，使得 B
2S?ABM?S?四边形AOED，如果存在，求出
y M y N A x O P 2 2（图2） B Q E F x M点的坐标，如果不存在，请说明理由.
yCOC1 C1 ED
AxA O P 图2（1） 12
B l2
题
l1C2 C3 C4 二、 动态：动点、动线
2．(辽宁锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于2
点C(0，4)，其中x1、x2是方程x－2x－8＝0的两个根． y C E
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上的动点，过点P作
PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（山东青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
B B P C
P P D C 2A 图
Q C A 图Q P?
A Q B 4．(浙江嘉兴)如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中
心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x． （1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？
M A B （第24题）
N C
三、 圆
5．（青海） 如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长； （3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长 ．
y A E C
D 图1 O B x A y C C D 图2
B x G 6．（湖南张家界）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D． （1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． －4
7．（潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y?ax?bx?c与y轴交于点D，与直线
2y C A O B 1 D x y?x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．
y D E C F x N
A O B
四、比例比值取值范围
M 8．（怀化）图9是二次函数y?(x?m)?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到
25S?MAB,若存在，求出P点的坐标；4
一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
9． (湖南长沙)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，
OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?图9
图1
12x?bx?c经过B、P两点，过线4段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
Q O y C B P 第26题图
A x
五、探究型
10．（内江）如图，抛物线y?mx2?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两点，与
y轴交于C点.
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.
11．（福建龙岩）如图，抛物线y?ax?5ax?4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，
点A在x轴上，点C在y轴上，且AC?BC． （1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰
三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明
y 理由． yC A 1 2yBoCDEA x26题图B x
QHPAOBx0 1 C
六、最值类
12．(恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在 请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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