2020届天津市河北区高三总复习质量检测(一)(一模)数学试题Word版

令x=0， 解得k=4k4． .…….……13分 =3+4k2131，或k=3． 411∵??k?，且k?0，

22∴k=1． .…….……14分 44故直线l的方程为y?1(x?4)． .…….……15分 （20）（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，+?)， .…….……1分

1?2ax?a+2． .…….……3分 x（1）当a≥0时， f?(x)=∵f'(x)>0，

∴函数f(x)在(0，+?)单调递增． .…….……4分 2ax2?(a+2)x?1(2x?1)(ax?1)（2）当a<0时，f?(x)=， =xx由f'(x)>0，得0-1a1a，

，

11∴函数f(x)在(0，-)单调递增，在(-，+?)单调递减． …….……6分

aa （Ⅱ）若a≥0，则f(1)=2a+3>0，不满足f(x)≤0恒成立． .…….……7分 11 若a<0，由（Ⅰ）知，函数f(x)在(0，-)单调递增，在(-，+?)单调递减．

aa111∴f(x)max?f(-)?ln(-)?． .…….……8分

aaa又f(x)≤0恒成立，

11∴f(x)max≤0，即ln(-)?≤0．

aa令g(x)?lnx?x， 1则g(-)≤0．

a1∵g?(x)??1，

x - 13 -

11 ∴函数g(x)在(0，+?)单调递增，且g(l)?l?0，g()??ln2??0．

221 ∴存在唯一的x0?(，1)，使得g(x0)?0． .…….……10分

2当x?(0，x0)时，g(x)<0，当x?(x0，??)时，g(x)>0， ∴0?-1a≤x0，解得a≤-1x0?(?2，?1)．

又a?Z，

∴a的最大值为?2． .…….……12分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=?2时，f(x)=lnx-2x2+1<0． ∴lnx<2x2-1． ∴-xlnx>-2x3+x．

∴ex-xlnx+2x3-x2+x-1>ex-2x3+x+2x3-x2+x-1=ex-x2+2x-1． 记u(x)=ex-x2?2x?1(x?0)，

u?(x)=ex-2x+2． .…….……14分

记h(x)=ex-2x?2，

h?(x)=ex-2．

由h?(x)=0，得x=ln2．

当x?(0，ln2)时，h?(x)<0，当x?(ln2，??)时，h?(x)>0， ∴函数h(x)在(0，ln2)单调递减，在(ln2，+?)单调递增． ∴h(x)min?h(ln2)?eln2?2ln2?2?4?2ln2?0． ∴h(x)?0，即u?(x)?0．

故函数u(x)在(0，+?)单调递增．

∴u(x)>u(0)=e0?1=0，即ex-x2?2x?1?0． ∴ex-xlnx+2x3-x2+x-1>0． .…….……16分

注：其他解法可参照评分标准酌情给分

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