课时分层作业(七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝2，则数列{an}是( )
4A．递增数列 C．常数列
B．递减数列 D．摆动数列
1
D [由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．]
4
1
2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是( )
16A．1 1C． 2
B．2 1D． 4
111
C [a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，所以a3a6＋a4a5＝.]
1642
3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于( ) A．10 C．50
B．25 D．75
B [法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5， 所以a8·a9·a10·a11＝5＝25. 法二：由已知得a1q·a1q＝a1q＝5，
所以a8·a9·a10·a11＝a1q·a1q·a1q·a1q＝a1·q＝(a1q)＝25.]
4．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( ) A．32 C．12 B [B．16 D．8
7
8
9
10
4
34
2172
6
11
217
2
a4＋a5＋a634934
＝q＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q＝2·(2)＝2＝16.]
a1＋a2＋a32
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝( ) A．8 C．16
B．4 D．12
12
A [因为a3a11＝4a7＝a7，∴a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)，故b7＝a7＝4＝(b5＋b9)，即
2
b5＋b9＝8.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________. 51 [因为a6a10＝a8，
2
a3a5＝a24，
所以a8＋a4＝41. 又因为a4a8＝5，
2
2
an>0，
所以a4＋a8＝?a4＋a8? ＝a4＋2a4a8＋a8＝51.]
7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．
3或27 [设此三数为3，a，b，
??2a＝3＋b，则?2
???a－6?＝3b，??a＝3解得?
??b＝3
2
2
2
??a＝15，
或???b＝27.
所以这个未知数为3或27.]
111xz8．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列．且，，成等差数列，则＋的值是xyzzx________．
?12y?＝9x×15z，??34
[由题意可得?21115＝＋，??yxz2
2
所以y＝
2xz?24xz?2＝135xz，2
，所以?化简得15x?x＋z?x＋z?
＋15z＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝
三、解答题
xz34
.] zx15
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．
[解] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2， 这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)＝2(2＋d)， 解之得d＝6，或d＝0(舍去)． 此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)． 此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则2＝(2＋d)·(2－d)，
2
22
所以d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4,2,8. 10．已知{an}为等比数列．
(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [解] (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)＝25，∵an＞0， ∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log39＝10.
[能力提升练]
1．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，
5
5
5
2
2
2
an＋1＝2an－1，则a12等于( )
A．32 C．66
B．34 D．64
5
C [依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×2＝64，a12＝a11＋2＝66，故选C．]
1m22
2．已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于
2n( )
3
A． 22C． 3
32B．或 23D．以上都不对
1192
B [不妨设是x－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，
222对方程x－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2， 143
∴等比数列为，x1，x2，4，∴q＝＝8，∴q＝2，
21
2∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴＝
2
m93
＝.
n2×32
19m22
若设是x－nx＋2＝0的根，同理得n＝，m＝3，则＝．]
22n3
3．已知等比数列{an}为递增数列，且a5＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式
2
an＝________.
2 [∵{an}单调递增，∴q＞0，又a＝a10＞0， ∴an＞0，q＞1， 由条件得2?
2
n25
?an＋an＋2?＝5，即2?1＋q?＝5，∴q＝2或q＝1(舍)，
??q?2?an＋1an＋1???
42
9
由a5＝a10得(a1q)＝a1q，∴a1＝q＝2，故an＝2.]
1591111
4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
88a7a8a9a10511a7＋a1011a8＋a91111
－ [因为＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝3a7a10a7a10a8a9a8a9a7a8a9a10
15
a7＋a8＋a9＋a1085
＝＝－.] a8a993
－8
5．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a3＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式；
?1?
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列??(n≥2，n∈N＋)的前n项和．
?bn?
2
n[解] (1)设等比数列{an}的公比为q， 因为a3＝9a2a6＝9a4，
2
2
a214
所以q＝2＝，因为an>0，
a39
2
所以q>0， 1
所以q＝，
3
因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1， 1
所以3a1＝1，a1＝，
3
?1?n所以an＝??.
?3?
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝log3(a1·a2·…·an)
?1?1＋2＋3＋…＋n＝－n?n＋1?. ＝log3??2?3?
?1?
设数列??的前n项和为Sn，
?bn?
则Sn＝－2?
?1＋1＋…＋1?
n?n＋1???1×22×3?
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