十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题19不等式选讲
1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)111
222
a+b+c≤a+b+c; (2)(a+b)3
+(b+c)3
+(c+a)3
≥24.
2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x-1)2
+(y+1)2
+(z+1)2
的最小值;
(2)若(x-2)2
+(y-1)2
+(z-a)2
≥13
成立,证明:a≤-3或a≥-1.
4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x2
+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
1
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围. 8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2
-x+m的解集非空,求m的取值范围. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a3
+b3
=2.证明: (1)(a+b)(a5
+b5
)≥4; (2)a+b≤2.
10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.
11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=|x-1
1
2|+|x+2|,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则√a+√b>√c+√d; (2)√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1
1a+b, 证明:
2
(1)a+b≥2;
(2)a+a<2与b+b<2不可能同时成立.
16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且+=√ab. (1)求a+b的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=|x+|+|x- a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;
(2)当x∈M∩N时,证明:xf(x)+x[f(x)]≤. 19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x) (2)设a>-1,且当x∈[-2,2)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤; a2(2)bb+c2 2 2 2 3 3 2 2 1a1b1a14a1 13c2 +a≥1. 21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. 23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数y=f(x)的图象; (2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围. 3 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题19不等式选讲 1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)a+b+c≤a+b+c; (2)(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24. 【解析】(1)因为a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,又abc=1,故有a+b+c≥ab+bc+ca=所以++≤a+b+c. (2)因为a,b,c为正数且abc=1, 故有(a+b)+(b+c)+(c+a) ≥3√(a+b)(b+c)(a+c) =3(a+b)(b+c)(a+c) ≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24. 所以(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24. 2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f(x)=-2(x-1)<0; 当x≥1时,f(x)≥0. 所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a≥1. 当a≥1,x∈(-∞,1)时, 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 111 222 ab+bc+ca abc=++. 1a1b1c1a1b1c222 3 333 4
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