粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有 v＝at
联立①②③④式得 t＝
3RB
. E
⑤ ④
(2) 粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、半径无关，运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定．故当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短．设粒子在磁场中的轨迹半径为r′，由几何关系可得
(r′－R)2＋(3R)2＝r′2
⑥
设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为θ，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知 3R
tan θ＝ r′－R
⑦
粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v.在垂直于电场方向上的分速度始终等于v0，由运动的合成和分解可得
v
tan θ＝
v0
联立①⑥⑦⑧式得 qBRv0＝.
m
答案：见解析
2．(2018·高考全国卷Ⅱ) 一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行．一带正
⑧
电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出．不计重力．
(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹； (2)求该粒子从M点入射时速度的大小；
π
(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从
6M点运动到N点的时间．
解析：(1)粒子运动的轨迹如图(a)所示．(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)
图(a) 图(b)
(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动．设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ[见图(b)]，速度沿电场方向的分量为v1.根据牛顿第二定律有
qE＝ma
①
式中q和m分别为粒子的电荷量和质量．由运动学公式有v1＝at② l′＝v0t v1＝vcos θ
③ ④
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
mv2
qvB＝
R
由几何关系得l＝2Rcos θ 联立①②③④⑤⑥式得 2El′v0＝. Bl
(3)由运动学公式和题给数据得 π
v1＝v0cot
6
联立①②③⑦⑧式得 q43El′＝22 mBl
设粒子由M点运动到N点所用的时间为t′，则 ππ
2（－）26
t′＝2t＋T
2π
式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 2πmT＝ qB
由③⑦⑨⑩?式得 Bl3πlt′＝(1＋)．
E18l′
⑤ ⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
?
答案：见解析
3．同一水平面上的两根正对平行金属直轨道MN、M′N′，如图所示放置，两轨道之间的距离l＝0.5 m．轨道的MM′端之间接一阻值R＝0.4 Ω的定值电阻，轨道的电阻可忽略不计，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R0＝0.5 m，水平直轨道MK、M′K′段粗糙，KN、K′N′段光滑，且KNN′K′区域恰好处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.64 T，磁场区域的宽度d＝1 m，且其右边界与NN′重合，现有一质量m＝0.2 kg、电阻r＝0.1 Ω的导体杆ab静止在距磁场左边界s＝2 m处，在与杆垂直的水平恒力F＝2 N作用下开始运动，导体杆ab与粗糙导轨间的动摩擦因数μ＝0.1，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能通过半圆形轨道的最高处PP′.已知导体杆在运动过程中与轨道始终垂直且接触良好，取g＝10 m/s2.求：
(1)导体杆刚进入磁场时，通过导体杆的电流大小和方向； (2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R的电荷量； (3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．
解析：(1)设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v1，由动能定理有 12
(F－μmg)s＝mv1－0，
2代入数据解得v1＝6 m/s，
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势 E＝Blv1＝1.92 V，
E
此时通过导体杆的电流I＝＝3.84 A，
R＋r根据右手定则可知，电流方向由b向a.
(2)设导体杆在磁场中运动的时间为t，产生的感应电动势的平均值为E，则由法拉第电磁感应定律有
ΔΦBldE＝＝，
ΔtΔt
E
通过电阻R的感应电流的平均值I＝，
R＋rBld
通过电阻R的电荷量q＝IΔt＝＝0.64 C.
R＋r
(3)设导体杆离开磁场时的速度大小为v2，运动到半圆形轨道最高处的速度为v3，因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高处，则在轨道最高处时，由牛顿第二定律有
2v3mg＝m，
R0
代入数据解得v3＝5 m/s，
杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有
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