(甘志国)谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题

谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题

甘志国(该文已发表 数理天地(高中版)，2010(9)：19，21)

本文将谈谈2010年的全国普通高考数学江西卷理科压轴题： 高考题 证明以下命题：

(1)对任一正整数a，都存在正整数b,c(b?c)，使得a2,b2,c2成等差数列；

(2)存在无穷多个互不相似的三角形?n，其边长an,bn,cn为正整数且an,bn,cn成等差数列.

参考答案 (1)易知12,52,72成等差数列，所以a2,(5a)2,(7a)2也成等差数列，即对任一正整数a，都存在正整数b?5a,c?7a(b?c)，使得a2,b2,c2成等差数列.

(2)若an,bn,cn成等差数列，得

222222bn?an?cn?bn2222

(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) ① 选取关于n的一个多项式，例如4n(n2?1)，使得它可按两种方式分解因式，由于

4n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n?2)(2n2?2n)

所以，可令

?bn??bn??cn?c?n?an?2n?2?an?2n2?2n?bn?2n?2?bn?2n2?2n

?an?n2?2n?1?2即 ?bn?n?1(n?4)

?2c?n?2n?1n?易证an,bn,cn满足①，所以an,bn,cn成等差数列.

2当n?4时，an?bn?cn，且an?bn?cn?n?4n?1?0，所以以an,bn,cn为边

222长可以构成三角形，将此三角形记为?n(n?4).

任取正整数m,n(m?4,n?4,m?n)，若?m与?n相似，得

m2?2m?1m2?1m2?2m?1?2?2

2n?2n?1n?1n?2n?1m2?1m2?2m?1(m2?2m?1)?(m2?1)m?1 ?2??222n?1n?1n?2n?1(n?2n?1)?(n?1)m2?1m2?2m?1(m2?1)?(m2?2m?1)m?1 ???n?1n2?1n2?2n?1(n2?1)?(n2?2n?1)m?1m?1?,m?n

n?1n?1这与m?n矛盾！所以任意两个三角形?m与?n(m?4,n?4,m?n)互不相似.即欲证成立.

在本题第(2)问中，有an?bn?cn或an?bn?cn.若an?bn?cn，又设

222222222(an,bn,cn)?(x,z,y)，得x,y,z是互质的正整数且

x2?y2?2z2(x?y,y?z?x) ②

求方程②的正整数解就是解不定方程问题.

早在1995年，笔者就在文献[1]中给出了以下结论(也可见专著[2])： 定理1

[1] 方程x2?y2?2z2(x,y,z两两互质，x?y)的全部正整数解为

?x?r2?s2?2rs??22?y?r?s?2rs?22??z?r?s

其中r,s?N*,r?s,2?r?s(“?”表示不整除),(r,s)?1.

22证明 有2x?y，因为(x,y)?1，所以x,y均为奇数.

由x?y知，可设x?y?2a,x?y?2b(a,b?N*)，所以x?a?b,y?a?b,(a,b)?1.

222把它代入x?y?2z，得a?b?z，且由(a,b)?1得a,b,z两两互质，由勾股数组

222的求法(参见文献[3])，得

?a?2rs?22?b?r?s 或 ?z?r2?s2?其中r,s?N*,r?s,2?r?s,(r,s)?1.所以

?a?r2?s2? ?b?2rs?z?r2?s2??x?r2?s2?2rs??22?y?r?s?2rs?22?z?r?s?

因为在方程②中，“正整数x,y,z两两互质”等价于“正整数x,y,z互质”，所以由定理1可得以上高考题第(2)问的一些答案，比如选r?n(n?4),s?1，可得以上参考答案第(2)问，选r?2,s?1，可得以上参考答案第(1)问.

这道高考压轴题以整数性质为背景，实际上，有很多高考题喜欢考查整数性质，比如2010年高考江西卷文科压轴题、湖北卷理科第20(2)题，2007年湖北理科卷中的四道题所以在高考复习备考中，应重视这方面的研究.

[4].

参考文献

1 甘志国.有理数集上不存在四连贯的二次多项式[J].数学通讯，1995(12)：23-26 2 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.117 3 魏万迪.整数入门[M].成都：四川教育出版社，1988.268

4 甘志国.2007年高考湖北卷的一大特色——整数性质[J].数学通讯，2007(18)：19-20,18