含基本事件有7个，由古典概型的公式可得答案． 5名学生数学成绩的平均分为：【解答】解：（Ⅰ）5
名
学
生
数
学
成
绩
的
方
5名学生物理成绩的平均分为：5
名
学
生
物
理
成
绩
的
方
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三（1）班总体物理成绩比数学成绩稳定．
（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A， 5名学生中选2人包含基本事件有：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共10个．
事件A包含基本事件有：A1A4，A1A5，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共7个.
差
为
：
差
为
：
所以，5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为
18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机50）60）抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，，[50，，[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
- 21 -
．
（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数； （2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明） （注：s2= [（x
）2+（x2﹣）2+…+（x
）2]，其中为数据x1，
x2，…，xn的平均数）
【考点】极差、方差与标准差；频率分布折线图、密度曲线；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生人数，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数． （2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．
（3）当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，
- 22 -
90或79，85，90．
【解答】解：（1）由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，
“体育良好”的学生人数大约有：1000×∴该校高一年级学生中，人．
（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A， 由题意，得P（A）=1﹣
=1﹣
，
．
=750
∴至少有1人体育成绩在[60，70）的概率是
（3）∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，
且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N， ∴当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；
（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．
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【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空间直角坐标系C﹣xyz．则A，B1，E，A1，可得，根据
，，
，
可知，
，推断出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根据线
面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE． （Ⅱ）由（Ⅰ）知
是平面A1CE的法向量，
，
进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥AC，CC1⊥BC， 又∠ACB=90°， 即AC⊥BC．
如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2）， ∴又因为
，，
，
，
．
∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
，
∴|cos＜
，
＞|=
=
．
，
＞|=
．
是平面A1CE的法向量，
设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜
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