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小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元） （1）用含x的代数式分别表示W1，W2;
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?
【答案】（1）W1=-2x2+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元.
【解析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；
（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得.
（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，【解答】则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得
W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000， W2=19(50-x)=-19x+950；
（2）W总=W1+W2=-2x2+60x+8000+（-19x+950）=-2x2+41x+8950， ∵-2＜0，-2×（2）=10.25，
-41
故当x=10时，W总最大，
W总最大=-2×102+41×10+8950=9160.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键.
23. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F. （1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
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图1 图2
【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析.
【解析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°，根据CM=MB，可得
∠MCB=∠CBM，从而可得∠CMD=2∠CBM，继而可得∠CME=2∠CBA=80°，根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数；
3)由△DAE≌△CEM.CM=EM,∠DEA=90°结合CM=DM以及已知条件可得△DEM是 等边三角形,从而可得∠EDM=60°∠MBE=30°,继而可得∠ACM=75°,连接AM结合AE=EM=MB,可推导得出AC=AM.根据N为CM中点,可得AN⊥CM,再根据CM⊥EM.即可得出ANCM
【解答】（1）∵M为BD中点，
Rt△DCB中，MC=2BD， Rt△DEB中，EM=2BD， ∴MC=ME；
（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-50°=40°， ∵CM=MB， ∴∠MCB=∠CBM，
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM， 同理，∠DME=2∠EBM， ∴∠CME=2∠CBA=80°， ∴∠EMF=180°-80°=100°；
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（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，
∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE， ∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°， ∴∠ABC=45°，∠ECM=45°， 又∵CM=ME=2BD=DM， ∴DE=EM=DM，
∴△DEM是等边三角形， ∴∠EDM=60°， ∴∠MBE=30°，
∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM， ∵∠MCB+∠ACE=45°， ∠CBM+∠MBE=45°， ∴∠ACE=∠MBE=30°， ∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°， 连接AM，∵AE=EM=MB， ∴∠MEB=∠EBM=30°， ∠AME=2∠MEB=15°， ∵∠CME=90°，
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM， ∴AC=AM， ∵N为CM中点， ∴AN⊥CM， ∵CM⊥EM， ∴AN∥CM.
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【点睛】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角
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形的判定与性质、三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
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