2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第10章 第8节 概率与统计的综合问题 Word版含答案

第八节 概率与统计的综合问题

[最新考纲] 能从研究对象中获取数据，会用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构建模型等．

考点1 离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值和方差

的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变

量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．

(2019·广州一模)某商场以分期

付款方式销售某商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为

ξ P 其中0＜a＜1,0＜b＜1. (1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率； (2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元)．

①求X的分布列；

②若P(X≤500)≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．

[解](1)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B(3,0.4)，

2

则P(η＝2)＝C23(0.4)×(1－0.4)＝0.288，

2 0.4 3 a 4 b ∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.

(2)①依题意X的取值分别为400,450,500,550,600， P(X＝400)＝0.4×0.4＝0.16， P(X＝450)＝2×0.4a＝0.8a， P(X＝500)＝2×0.4b＋a2＝0.8b＋a2， P(X＝550)＝2ab， P(X＝600)＝b2. ∴X的分布列为：

X 400 450 500 550 600 P 0.16 0.8a 0.8b＋a2 2ab b2 ②P(X≤500)＝P(X＋400)＋P(X＝450)＋P(X＝500) ＝0.16＋0.8(a＋b)＋a2，

根据0.4＋a＋b＝1，得a＋b＝0.6，∴b＝0.6－a， ∵P(X≤500)≥0.8，∴0.16＋0.48＋a2≥0.8， 解得a≥0.4或a≤－0.4， ∵a＞0，∴a≥0.4，

∵b＞0，∴0.6－a＞0，解得a＜0.6， ∴a∈[0.4,0.6)，

E(X)＝400×0.16＋450×0.8a＋500(0.8b＋a2)＋1 100ab＋600b2＝520－100a，

当a＝0.4时，E(X)的最大值为480， ∴X的数学期望E(X)的最大值为480.

本例融概率、分布列、函数于一

体，体现了高考命题的最新动向，求解时可先借助分布列的性质及题设条件“P(X≤500)≥0.8”探求得到参数a的范围，然后借助数学期望公式建立关于参数a的函数关系式，并通过二次函数求得数学期望EX的最大值．

(2019·九江二模)某企业打算处

理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．

(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；

(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．