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学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
1．在极坐标系中，作出下列各点：
π?2π?π?3π?????2，6，－1，4，－A?6?，B?，C?3?，D?，E(4，0)，F(2.5，π)． 3?4?????????【解】 各点描点如下图．
π
2．极坐标系中，点A的极坐标是(3，6)，求点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．
【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的5π
极坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可写出其中一个为(3，6)．
5π??
3．已知点M的极坐标为?－2，－6?，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M的极
??坐标．
【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，
－5πππ
∴(－2，6)与(2，6)为同一点的极坐标，故点M的极坐标为(2，6)． π?5π???2，2，???4．在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A，那么顶4?、B?4???
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1
点C的坐标是多少？
【解】 如右图，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．
ππ
又AB＝4，△ABC为正三角形，OC＝23，∠AOC＝2，C对应的极角θ＝4＋π3ππππ＝或θ＝－＝－24424，
即C点极坐标为 3π??π??
?23，4?或?23，－4?. ????
5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物π
线的轴的夹角为6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．
【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴π
Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝6时，ρ＝30(万千米)；5π7π11π
(2)当θ＝6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝6时，ρ ＝30(万千米)．
π5π7π11π
彗星此时的极坐标有四种情形：(30，6)，(30，6)，(30，6)，(30，6)． π??5π??2，4，6．已知A、B两点的极坐标分别是?3?、?，求A、B两点间的距离6?????和△AOB的面积．
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【解】 求两点间的距离可用如下公式： AB＝
5ππ4＋16－2×2×4×cos?6－3?
＝20＝25. 1
S△AOB＝2|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|
15ππ1
＝2|2×4×sin(6－3)|＝2×2×4＝4. π??
7．已知定点P?4，3?.
??
π??
(1)将极点移至O′?23，6?处极轴方向不变，求P点的新坐标；
??π
(2)极点不变，将极轴顺时针转动6角，求P点的新坐标．
【导学号：98990005】
【解】 (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO′＝23，π
OP＝4，∠POx＝3，
π
∠O′Ox＝6， π
∴∠POO′＝6. 在△POO′中，
sin∠OPO′π
ρ＝4＋(23)－2·4·23·cos 6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵＝23
2
2
2
sin∠POO′
， 2
2
1
πsin 6
3
∴sin∠OPO′＝2·23＝2， π∴∠OPO′＝3.
πππ
∴∠OP′P＝π－3－3＝3，
2π
∴∠PP′x＝3. 2π
∴∠PO′x′＝3.
2π
∴P点的新坐标为(2，3)． (2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)， πππ
则ρ＝4，θ＝3＋6＝2. π
∴P点的新坐标为(4，2)．
能力提升]
π?π?π????
8．已知△ABC三个顶点的极坐标分别是A?5，6?，B?5，2?，C?－43，3?，
??????试判断△ABC的形状，并求出它的面积．
4ππππ
【解】 ∵C(43，3)，∠AOB＝2－6＝3， 且AO＝BO，
所以△AOB是等边三角形， AB＝5，
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BC＝ AC＝
4ππ52＋?43?2－2×5×43×cos?3－2?＝133， 2ππ5＋?43?－2×5×43cos?3＋6?＝133，
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∵AC＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，
3133
AB边上的高为43＋5×2＝2， 1133653
∴S△ABC＝2×5×2＝4.
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