常用均值不等式及证明证明之欧阳科创编

欧阳科创编 2021.02.05

常用均值不等式及证明证明

时间：2021.02.05 创作：欧阳科 Hn?n?111???a?a???a??2n??1

1n概念： 1、调和平均数： 2、几何平均数： 3、算术平均数：

Gn??a1a2?an?n

?a1?a2???an?An?

4、平方平均数：

Qn?222a1?a2???ann

这四种平均数满足Hn?Gn?An?Qn

a1、a2、?、an?R?，当且仅当

a1?a2???an时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数

rrr?a1??a2???anD?x????n??1r(当

r?0r?0时);

时

）

（

即

D?x???a1a2?an?1n(当

D?0???a1a2?an?Hn≤Gn≤An≤Qn

1n则有：当r=-1、1、0、2注意到

欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05

仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形：

22a?b?2ab (当且仅当a=b时取(1)对实数a,b，有

“=”号)，

a2,b2?0?2ab

(2)对非负实数a,b，有a?b?2ab?0，即(4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b?

?a?b??2ab?0

(3)对负实数a,b，有 a?b?-2ab?0

22a?b?2ab?0 (5)对非负实数a,b，有

a?b2a?b??2ab2(6)对实数a,b，有

22a?b?c2a?b?c?3(7)对实数a,b,c，有

222

222a?b?c?ab?bc?ac(8)对实数a,b,c，有

3?a?b?a2?ab?b2?4(9)对非负数a,b，有

2

a?b?c3?abc3(10)对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格

朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

欧阳科创编 2021.02.05

欧阳科创编 2021.02.05

nn?n-1?B??A?B?A?nA引理：设A≥0，B≥0，则

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以

弱化为A≥0，A+B≥0

(用数学归纳法)。

n?a1?a2???an????a1a2?ann?原题等价于：?

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设

中最大者，

则 设

ak?1是

a1,a2,?,ak?1kak?1?a1?a2???ak?1s?a1?a2???akk

?s????ak?1?a1a2?ak?1?k?用引理

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区

间(a,b)内的任意n个点，

则有：

?x1?x2???xn?f?x1??f?x2???f?xn?f???nn??

欧阳科创编 2021.02.05