高考冲刺：分类讨论思想
编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：辛文升 热点分析 高考动向
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.
数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
知识升华
1．分类讨论的常见情形
（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必
须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下
2
结论不一致，如二次函数y=ax+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项
和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.
2
（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax+bx+c＞0，a=0，
a＜0，a＞0解法是不同的.
（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的
位置关系等.
（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.
（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数
的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.
2．分类的原则
（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的； 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据. （2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.
当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.
3．分类讨论的一般步骤
第一，明确讨论对象，确定对象的范围；
第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论.
4. 分类讨论应注意的问题
第一，按主元分类的结果应求并集. 第二，按参数分类的结果要分类给出.
第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避
免分类.
经典例题透析
类型一：不等式中的字母讨论
1、（2010·山东）若对于任意，恒成立，则a的取值范围是
________.
思路点拨：依据式子的特点，进行整理，分子分母同除以x.
解析：对一切恒成立，
在R+上的最大值.
而 .
当且仅当 即 x=1时等取号.
∴
举一反三：
.
【变式1】解关于的不等式: 解析：原不等式可分解因式为: （下面按两个根与 （1）当
，即
的大小关系分类） 或
时，不等式为
（，
）.
或，不等式的解集
为：；
，即，即
或
时，不等式的解集为：
时，不等式的解集为：
；
；
（1）当 （2）当
综上所述，原不等式的解集为： 当 当 当
【变式2】解关于的不等式: 解析： （1）当 （2）当
时，不等式为时，需要对方程
, 解集为
；
的根的情况进行讨论：
.
或或时，
时，时，
； ；
.
① 即
时，方程
有两根
.
则原不等式的解为.
② 即
时，方程
没有实根，
此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.
③ 即
时，方程
有两相等实根为
，
则原不等式的解为 （3）当 即
时，时，方程
恒成立，
.
有两根
此时，为开口向下的抛物线，
.
故原不等式的解集为 综上所述，原不等式的解集为：
.
当 当 当
时，解集为时，解集为时，解集为
；
；
；
当时，解集为
.
类型二：函数中的分类讨论
2、设为实数，记函数
，求的取值范围，并把
；
的最大值为表示为的函数
，；
（Ⅰ）设 （Ⅱ）求
（Ⅲ）试求满足 解析： （I）∵
的所有实数.
，
且，且 ，
，即……①
∴要使有意义，必须 ∵
∴的取值范围是
由①得：，
∴，，
（II）由题意知即为函数，的最大值，
∵时，直线是抛物线的对称轴，
∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当段，
时，函数
，
的图象是开口向上的抛物线的一
由 （2）当 （3）当段，
时，
知在，
，
上单调递增，故，有
=2；
；
时，，函数的图象是开口向下的抛物线的一
若即时，，
若即时，，
若即时，，
综上所述，有=
（III）当时，；
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