第七讲 转化与化归
可化为一元二次方程的方程及方程组
数学(家)特有的思维方式是什么若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答匈牙利女数学家路莎?彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 已知关于x的方程x?2x?(3?k)x?(2?k)x?2k?0有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为 。 思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。
@
432
【例2】方程x?3?4x?1?x?8?6x?1?1的解的情形是（ ）
A、无解 B、恰有一个解 C、恰有两个解 D、有无穷多个解
，
22思路点拨：由配方法得(x?1?2)?(x?1?3)?1，即
x?1?2?
x?1?3?1，通过讨论去掉绝对值符号。
【例3】解下列方程：
x2?3xx2?x?411?? （河南省竞赛题） （1）22x?2x?83x2?9x12:
33（2）(1999?x)?(x?1998)?1； （山东省竞赛题）
13x?x213?x(x?)?42； （（3）“祖冲之杯”邀请赛试题） x?1x?1
（4）??x(x?1)(3x?5y)?144?x?4x?5y?242 （西安市竞赛题）
思路点拨：
按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从
(1999?x)?(x?1998)?1受到启示；对于（3），设y?213?x，则可导出x?y、xy的x?122结果；对于（4），视x?x，可得到(x?x)?(3x?5y)、(x?x)(3x?5y)3x?5y为整体，
的值。
]
【例4】解下列方程（组）：
（1）、x2?x?x2?x?7?5 （克罗地亚奥林匹克试题）
）
??x?5y?182y?20（2）? （2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题）
??62x?x?5y?11
.
2kxkx?1只有一个解（相等的解也算作一个），试求k?2?x?1x?xx非等价转化
【例5】若关于x的方程
的值与方程的解。
分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值。
}
学力训练
1、方程题） - 2、方程(题）
3、用换元法解方程
x5??4的解是 。 （威海市中考2x?33?2xx2x)?6?5()的整数解是 。 （天津市中考x?1x?1x6x?3??5时，如果设x2?x?y，那么原方程可变形为2x?1x222（ ）
A、y?y?2?0 B、y?y?2?0 C、y?y?2?0 D、y?y?2?0
2a。 ?1的解是负数，则a的取值范围是（ ）
x?1A、a1 B、a1且a?0 C、a?1 D、a?1且a?0
5、关于x的方程
/
（山西省中考题）
6、下列方程有实数解的是（ ）
A、2x?1??1 B、x?1?2?0 C、
1x2 D、x?2x?3?0 ?x?1x?1 （潍坊市中考题）
?x?y?27、解方程组?2 2?x?2xy?3y?0$
（2011年上海市中考题） 8、解下列方程： （1）
6x5x?4?? （上海市中考题） 2x?1x?1x?12(x?1)2x?1??6?0 （苏州市中考题） （2）2xx（3）
)
6?x2?x?1 （天津市中考题） 2x?x
（4）(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120
9、（1）求方程x2?25x?52?3x2?25x?80所有实数根的积。
（日本数学奥林匹克试题）
?2(x?y?z)?5x?y?z?5?2?（2）解方程组?xyz
????345 （太原市竞赛题）
-
能力拓展：
10、解方程
11114得 。 ????x2?xx2?3x?2x2?5x?6x2?7x?1221 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 11、方程
x?1x?8x?2x?7的解是 。 （第16届江苏省竞赛题） ???x?2x?9x?3x?8?xy?x?y?7?022x12、若实数、y满足?，则xy?xy＝ 。
?3x?3y?9?2xy*
（第20届江苏省竞赛题）
?xy?x?2y?1??yz?2，则（ ） 13、若实数x、y、z满足方程组??y?2z?zx?3??z?2xA、x?2y?3z?0 B、7x?5y?2z?0 C、9x?6y?3z?0 D、10x?7y?z?0 14、如果方程x?5x?4(4?k)x?k?0的三个根可以作为一个三角形的三边长，则实数k的值为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
（四川省竞赛题）
32x2?a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）15、关于x的方程。 x?1
A、a0 B、a?4 C、2a4 D、0a4
（全国初中数学联赛） 16、解下列方程（组）： （1）x?x?1?(x?x?1)(x?2x?4)
（2011年青少年数学国际城市邀请赛） （2）x?(2222x2)?3 x?1322??x?1?xy?y?0（3）? （德国数学奥林匹克试题）
322??y?1?xy?x?094?x?y???10?xy（4）? （太原市竞赛题） ?(x2?9)(y2?4)?24xy??4x2?1?4x?y??4y2?z （加拿大数学奥林匹克试题） （5）?1?4y??4z2?x?2?1?4zx?1x?12x?a?217、对于实数a，只有一个实数值x满足等式???0，试求所有这样2x?1x?1x?1的实数a的和。
（第19届江苏省竞赛题）
综合创新：
22??x?y?p18、已知关于x、y的方程组?有整数解(x,y)，求满足条件的质数p。 2??3xy?p(x?y)?p （四川省竞赛题） 19、已知a、b、c三数满足方程组???a?b?82bx?cx?a?0的根。，试求方程 2??ab?c?82c?48 （全国初中数学联赛
题）
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