寒假作业(十九) 计数原理(注意解题的速度)
一、选择题
b1．若a∈{1,2,3,5}，b∈{1,2,3,5}，则方程y＝x表示的不同直线条数为( )
aA．11 C．13
B．12 D．14
1235
解析：选C 由题意，不考虑重复情况，有4×4＝16(种)情况，其中＝＝＝＝1，
1235
b斜率为1时重复3次，故方程y＝x表示不同的直线有16－3＝13(条)．
a?1?
2．(2017·惠州第三次调研考试)?x－2y?5的展开式中x2y3的系数是( )
?2?
A．－20 C．5
B．－5 D．20
?1??1??1?
5r5－rrr解析：选A ?x－2y?展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·?x?·(－2y)＝C5·??5－r·(－
?2??2??2?
2)r·x5－r·yr，令
r＝3，得x2y3的系数为C35
?1?
??2·(－2)3＝－20. ?2?
3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 C．24种
B．18种 D．36种
解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1
11C24C2C1
人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，
A22
再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．
4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子
里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10种 C．36种
B．20种 D．52种
解析：选A 1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同
1C3＋C2C2＝10(种)． 的放球方法有C4342
?1???n(n∈N*)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数5．若9x－
?3x???
项为( )
A．84 C．252
B．－252 D．－84
解析：选A 由题意可得C2n＝36，∴n＝9.
?1??1?????9的展开式的通项为 n9x－9x－∴?＝?3x?3x?????
Tr＋1
＝Cr·99－r·
9
?1?3rr?－?·x9－，
2?3?
3r令9－＝0，得r＝6.
2∴展开式中的常数项为
6×93×C9
?1?
?－?6＝84. ?3?
6．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数(含2和5)的个数是( ) A．120 C．60
B．36 D．48
22解析：选B 由题意得，含有2和5且2和5不相邻的四位数有C23A2A3＝36个．
7．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )
A．24
B．18
C．16 D．10
解析：选D 第一类，甲景区在最后一个体验，则有A33种方法；第二类，甲景区不在
2312最后一个体验，则有A12A2种方法，所以小李旅游的方法共有A3＋A2A2＝10种，故选D.
8．(2017·合肥质检)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为( )
A．－1 C．32
B．1 D．64
2a4b2，5解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为C6x5项的系数为C16ab，
42?6ab＝135，?C2
则由题意可得?解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之
15??C6ab＝－18，
和为(a＋b)6＝64，选D.
9．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A．15 C．30
B．20 D．42
2种分法，三组篮球进行全排列有A3种，标解析：选C 四个篮球中两个分到一组有C43
3种分法，所以有C2A3－A3＝36－6＝30种分法．号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A3 433
10．把1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，2an－1
则＝( ) an＋1
A．2n C．2
B．2n－1 D．2－n＋1 2
3
1－2n＋12an－1
2nn＋1解析：选D 令x＝1，得an＝1＋2＋2＋…＋2＝＝2－1，故＝
1－2an＋1
2·2n＋1－33
＝2－.
2n＋12n＋1
11．在某次大合唱中，要求6名演唱者站一横排，且甲不站左端，乙不站右端，则不同的站法种数为( )
A．368 C．486
B．488 D．504
5种；②甲在中间4个位解析：选D 法一：以甲的位置分为两类：①甲站右端，有A5
1A1A4种，故共有A5＋A1A1A4＝504(种)站法． 置之一，而乙不在右端，有A4445444
5法二(间接法)：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A5种，甲在左端且乙在右654端的站法有A44种，故共有A6－2A5＋A4＝504(种)站法．
12．现需编制一个八位的序号，规定如下：①序号由4个数字和2个x,1个y,1个z组成；②2个x不能连续出现，且y在z的前面；③数字在0,1,2，…，9之间任选，可重复，且4个数字之积为8.则符合条件的不同序号的种数为( )
A．12 600 C．5 040
B．6 300 D．2 520
解析：选B 因为4个数字之积为8，则这4个数字的所有情况为1,1,2,4；1,2,2,2；1,1,1,8.当这4个数字为1,1,2,4时，可组成的不同序号有22＝3 780种；当这4个数字
A2A2为1,2,2,2或1,1,1,8时，可组成的不同序号有32＝1 260种．故符合条件的不同序号共
A3A2有3 780＋1 260＋1 260＝6 300种．
二、填空题
13．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________． 解析：先排三个空椅子，形成4个间隔，然后插入3个坐人的椅子，故有A3 4＝24(种)．答案：24
14．(2017·南昌模拟)在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3项的系数为________．
rmm解析：在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，通项为Cr6(2x)·C5y，其中r＝0,1，…，
6C2A67
2A66C7
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