§19.1 含参量正常积分 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文

§1 含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题

由定理19.3,

ddd?(u)?I2H(u,y)dy=H(u,y)dyu??cduc??f(u,y)dy?I(u).cd?(u)?I2?(u),因此对一切u?[a,b],有故得I1I1(u)?I2(u)?k(k为常数).当u?a时, I1(a)?I2(a)?0,于是k?0,即得

I1(u)?I2(u),u?[a,b].取u?b就得到所要证明的(8)式.

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例题

例1 求lima?0?a1?adx.221?x?a1?a解记I(a)??adxa,1?a以及.由于221?x?a122都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2 已知1?x?aI (a) 在a?0处连续, 所以

dxπlimI(a)?I(0)???.2a?001?x41数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§1 含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题

例2 讨论函数I(x)??12ln(1?xy)dy的连续性.y解易见I(x)的定义域为(?12,??).令

ln(1?xy)1f(x,y)?,(x,y)?(?,??)?[1,2].2y11?x0?(?,??),?a,b,使得??a?x0?b,f(x,y)22在[a,b]?[1,2]上连续, 因此I(x)在[a,b]上连续, 从

而在x0上连续. 由x0的任意性可得I(x)在(?12,??)上连续.

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例3 计算积分解令

ln(1?x)I??dx.201?x1ln(1??x)I(?)??dx,??[0,1].201?x1显然I(0)?0,I(1)?I,且函数I(?)在R?[0,1]?[0,1]上满足定理19.3的条件, 于是

xI?(?)??dx.20(1?x)(1??x)1数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社