高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布课时达标55分类加法计数原理与分步乘法计数原理理

2018年高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 课时达标55 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理

[解密考纲]本考点考查用两个原理解决计数问题． 一、选择题

1．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( A )

A．12 C．8

B．6 D．16

1

解析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C2×3＝6(种)方案．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方案，这时，共有3×2＝6(种)方案．综上可得，所有的不同的考试安排方案有6＋6＝12(种)，故选A．

2．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( C ) A．324 C．328

B．648 D．360

2

解析：首先应考虑0，当0排在个位时，有A9＝9×8＝72(个)，当0不排在个位时，有A4A8＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A4·A8＝4×7×8＝224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．

3．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( B )

A．8种 C．10种

B．9种 D．11种

11

1

2

解析：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)．

4．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域涂色不同，则不同的涂色方法种数为( C )

A．64 C．84

B．72 D．96

解析：分成两类，A和C同色时有4×3×3＝36(种)；A和C不同色时有4×3×2×2＝48(种)，所以一共有36＋48＝84(种)，故选C．

5．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( D )

A．3 360元 C．4 320元

B．6 720元 D．8 640元

解析：从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6＝4 320(种)选法，故至少需花4 320×2＝8 640(元)，故选D．

6．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( B )

A．50种 C．48种

B．49种 D．47种

4

解析：当A中最大的数为1时，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，即有2－1＝15(种)方法；

当A中最大的数为2时，A可以是{2}，也可以是{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，即有2×(2－1)＝14(种)方法；

当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，即有4(2－1)＝12(种)方法；

当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，B可以是{5}，有8×1＝8(种)方法，故共有15＋14＋12＋8＝49(种)方法．

二、填空题

7．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对?x∈A，y∈B，x

解析：A＝{1}时，B有2－1种情况；

3

2

3

A＝{2}时，B有22－1种情况； A＝{3}时，B有1种情况； A＝{1,2}时，B有22－1种情况；

A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，

故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．

8．如图所示，用五种不同颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有180种．

解析：按区域分四步：

第一步，A区域有5种颜色可选； 第二步，B区域有4种颜色可选； 第三步，C区域有3种颜色可选； 第四步，D区域也有3种颜色可选．

由分步乘法计数原理，可得共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方法．

9．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，?，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种.

1 4 7 2 5 8 3 6 9 解析：把区域分成三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4,8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108(种)涂法．

三、解答题

10．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．

(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？ (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？

解析：(1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理，有10＋12＝22(种)不同的取法．

(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理，有10×12＝120(种)不同的取法．

11．有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？ 解析：(1)利用分类加法计数原理知，有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．

(2)国画有5种不同的选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70(种)不同的选法．

(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(种)不同的选法．

12．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？

解析：根据A球所在位置分三类：

①若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法．

②若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法．

③若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有3×2×1＝6(种)不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×6＝18(种)不同的方法．

综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．