习题二
2.1 将一颗骰子抛掷两次,以X表示两次抛掷的最大点数,求X的分布列. 2.2 对某一目标进行射击,直到击中为止.如果每次射击命中率为0.7, 求射击成功之前的失败次数的分布列.
2.3 在N件同类产品中有M件次品,其余为正品.从中无放回地抽取n次(1?n?min{M,N?M}),每次一件,以X表示取出的次品数,求X的分布列.
2.4 某人有5把钥匙,其中有2把可以打开房门.现在他无放回地试开房门,直到打开门为止.求试开次数的分布列.
2.5 试分别确定下面三个离散型分布中的常数a. (1) 离散型随机变量X的分布列为:
k?2?P(X?k)?a??, k?1,2,?;
?3?(2) 离散型随机变量X的分布列为:
P(X?k)?a?kk!, k?1,2,?, ??0为常数.
2.6 设离散型随机变量X的分布列为P(X?k)?2?k, k?1,2,?. 求: (1) P(X为偶数); (2) P(X?5); (3) P(X为3的倍数).
2.7 掷一枚不均匀的硬币,出现正面的概率为p(0?p?1), 设X为一直掷到 正、反面都出现时所需的投掷次数,求X的分布列.
2.8 箱中装有某种产品,其中次品m个,正品n?m个.不放回地连续从箱中抽取产品,每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取出正品为止.设此时取出了X个次品,求X的分布列.
2.9 一大楼装有5个同类型的供水设备,在任一时刻,每个供水设备被使用的概率为0.1. 求在同一时刻,
(1) 恰有2个设备被使用的概率; (2) 至少有3个设备被使用的概率; (3) 至多有3个设备被使用的概率.
2.10 设随机变量X服从二项分布B(2,p), 随机变量Y服从二项分布B(3,p). 若P(X?1)?59, 试求P(Y?1).
2.11 某大型国有企业职工的血型共有四种:O, A, B, AB. 这四种血型的比例分别为0.45, 0.40, 0.10和0.05. 从中随机抽取6人测量血型,计算下列事件的概率:
(1) 三个O型三个A型; (2) 没有AB型.
2.12 一本有500页的书,共有1000个错字,每个字等可能地出现在每一页上. 试求在给定的一页上至少有两个错字的概率(用泊松逼近计算).
2.13 电一台电话总机共有225部分机,假设每部分机向总机要外线的概率为0.02. (1)这台总机需要设置多少条外线,才能保证每部分机呼叫外线失败的概率低于0.01? (2)若设置12条外线,则每部分机呼叫外线失败的概率是多少?
2.14 设随机变量X服从参数为?的泊松(Poisson)分布,证明: 当k?[?]时,P(X?k)取得最大值; 若?为整数,则P(X??)与P(X???1)均为最大值.
2.15 设F1(x)和F2(x)都是分布函数,又a?0,b?0为两个常数,且a?b?1. 试证明:
F(x)?aF1(x)?bF2(x)
也是分布函数.
2.16 设随机变量X的概率密度函数为
?Asinx,f(x)???0,0?x??,其他.
求: (1)常数A; (2)随机变量X的分布函数; (3)P(?3?X??2).
2.17 设连续型随机变量X的分布函数为
x??A?Be?2,F(x)????0,2x?0, x?0.求: (1) 求常数A,B;
(2) X的概率密度函数;
(3) P(ln4?X?ln9).
2.18 设连续型随机变量X的分布函数为
0,?F(x)???A?Barctanx,x?0, x?0.求: (1) A,B;
(2) X的密度函数f(x); (3) X落在(?1,1)内的概率.
2.19 设随机变量?服从均匀分布U(0,5), 求下列关于x的二次方程
4x2?4?x?2???0
有实根的概率
2.20 设某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服
1),试求: 在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元从同一指数分布E(600件损坏的概率?.
2.21 设随机变量X~E(?), 其中??0. 若P(K?X?2K)?0.25. 试将K用参数?的式子表出.
2.22 试证明指数分布的无后效性: 设随机变量X~E(?), 则对任意实数s?0,t?0,有P(X?s?t|X?s)?P(X?t).
2.23 设随机变量X~N(108,9). (1) 求P(101.1?X?117.6); (2) 求常数a, 使P(X?a)?0.90; (3) 求常数a, 使P(X?a?a)?0.01.
2.24 公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在1%以下设计的. 设男子身高(单位:cm)X~N(170,36), 问应如何选择车门的高度.
2.25 设随机变量X的密度函数为
2?,?f(x)???(1?x2)?0,?x?0,x?0.
求Y?lnX的密度函数.
2.26 设随机变量X~U[?1,1], 求: (1) Y?eX的密度函数; (2) Z?2X2?1的密度函数. 2.27 设随机变量的密度函数为
?2x,?f(x)???2?0,?求Y?sinX的密度函数.
0?x??,其他.
2.28 设随机变量X的分布函数F(x)为单调增加的连续函数,求证随机变量Y?F(X)服从均匀分布U[0,1].
2.29 设一厂生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂,以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂. 现该厂生产了n台仪器,求:
(1) 常数这n台仪器都能出厂的概率?; (2) 恰好有两件不能出厂的概率?;
(3) 至少有两件不能出厂的概率?.
2.30 若一条鳀鱼的产卵数X服从泊松分布P(?), 而每只卵孵化成一条小
鱼的概率为p, 且每只卵是否变成小鱼彼此独立,求一条鳀鱼所生小鱼数量为k的概率.
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