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课时跟踪检测（四十三） 直线、平面垂直的判定及其性质
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1
B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
解析：选C 法一：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， 所以BC1⊥平面A1B1CD. 又A1E?平面A1B1CD， 所以A1E⊥BC1.
法二：∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B、D错； ∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故C正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE， 又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1. 又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E， 而D1E不与DC1垂直，故A错．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，
PA⊥平面ABC，则四面体P -ABC中直角三角形的个数为( )
A．4 C．2
B．3 D．1
解析：选A 由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P-ABC中共有4个直角三角形．
3．(2018·吉林实验中学测试)设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c
解析：选B A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β，由线面垂直的性质知
c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b?α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错
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误；C的逆命题为：当b?α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b?α，且c?α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．
4.(2018·贵阳监测考试)如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥
BC的条件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC
解析：选B A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以
BC⊥平面APC，又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明AP⊥BC；由A知D能证明AP⊥BC；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
5．(2018·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF
B．AH⊥平面EFH D．HG⊥平面AEF
解析：选B 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变， 得AH⊥平面EFH，B正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；
由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.
6.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．
解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正确，②
AE⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正确，③
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若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．
答案：①②④
7．(2018·兰州实战考试)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，
AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________．
解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面． ①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF?α， ∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD， 又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确； ②不能得到BD⊥EF，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故③正确；
④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故④错误，故填①③. 答案：①③
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是________．
1
①A′C⊥BD；②∠BA′C＝90°；③四面体A′BCD的体积为.
6
解析：∵BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD， ∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D. ∵AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，
∴A′C＝2，BC＝3，∴A′B＋A′C＝BC， ∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°， 1121四面体A′BCD的体积V＝××1×1＝.
326答案：②③
9．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
2
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