量子力学典型例题分析解答

即

是 的本征函数。本征值

2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值 【解】

宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数

注意:是否归一化波函数

能量本征值

出现 的几率 , 出现 的几率

能量平均值

另一做法

3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为

所描写的态中式中，式中 数值；2）在 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的

态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 ；

（4）

时能量的可能值相应的概率及平均值

[解](1) , 归一化，

，

（2）

，

， ； ，，

；

（3） 时，

所以：

时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。 4． 设氢原子处于状态

，

；

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

[解] 能量本征值

能量本征态

当n=2

时

为的

，

出现的几率为100％

本征值

可能值为 出现的几率分别为：

。

5 . 在轨道角动量 和 共同的本征态

下,试求下列期望值

(1). ; (2)

.

[解]：

三 测不准关系

1. 粒子处于状态

式中 为常数,求粒子的动量的平均值,并计算

测不准关系 [解]先归一化

(1) 动量平均值