几何重要定理一
【基础知识】
梅涅劳斯定理 设直线DEF交?ABC三边BC,CA,AB所在直线于D,E,F，若D,E,F三点共线，则
AECDBF???1 ECDBFAFPEA证明一 过C作DF平行线交AB于P
AEAFCDPF??，， ECFPDBFBAECDAFAECDBF?????1 B两式相乘得，即ECDBBFECDBFACDsin?CED?证明二 由正弦定理， CEsin?CDEBFsin?BDFAEsin?AFE??， BDsin?BFDAFsin?AEFAECDBF???1 三式相乘即得
ECDBFACD?CDFBF?BDF??证明三 由于，， DB?BDFFA?ADFAE?AEF?AED?AEF??AED?ADF????， EC?CEF?CED?CEF??CED?CDFAECDBF???1 三式相乘即得
ECDBFA则
CD梅涅劳斯定理的逆定理 设D,E,F分别是?ABC的边BC,CA,AB或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，
塞瓦定理 设D,E,F分别是?ABC的边BC,CA,AB或其延长线上的点，若
AD,BE,CF三线平行或共点，则
AECDBF???1 ECDBFAAECDBF???1，则D,E,F三点共线 ECDBFA这里只给出三线共点时的证明
证明一 过A作BC平行线交BE,CF于M,N
AEAMCDAN??， ECBCDPAPPDAPBFBC??， DBAMFAANAECDBF???1 四式相乘即得
ECDBFANAM于是有
FPEBDCAPDCBF???1， PDCBFAAPDBCE???1， 对截线BPE以及?ACD应用梅涅劳斯定理有
PDBCEAAECDBF???1 两式相除即得
ECDBFAAE?ABE?APE?ABE??APE?ABP????证明三 由合比定理， EC?BCE?PCE?BCE??PCE?BCPCD?ACPBF?BCPAECDBF?????1 同理有，，三式相乘即得DB?ABPFA?ACPECDBFA证明二 对截线CPF以及?ABD应用梅涅劳斯定理有
注 点P常称为赛瓦点
塞瓦定理的逆定理 设D,E,F分别是?ABC的边BC,CA,AB或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，或共点
角元形式的塞瓦定理 设D,E,F分别是?ABC的边BC,CA,AB或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则三直线AD,BE,CF平行或共点的充要条件是
sin?BADsin?ACFsin?CBE???1
sin?DACsin?FCBsin?EBABD?ABDAB?sin?BAD??证明 由于， DC?ACDAC?sin?DACAFAC?sin?ACFCEBC?sin?CBE??同理，， FBBC?sin?FCBEAAB?sin?EBAAECDBF???1，则AD,BE,CF三线平行ECDBFA三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立
【典型例题】
例1
在四边形ABCD中，?ABD,?BCD,?ABC的面积比是3：4：1，点M,N分别在AC,BD上，满足AM:AC?CN:CD，并且
B,M,N共线，求证：M与N分别是AC和BD的中点（1983年
全国高中数学联赛）
DNAEMCB
证明 设
AMCN??r(0?r?1)，AC交BD于E ACCD∵?ABD：?BCD：?ABC=3：4：1
BE1AE3?，? BD7AC7AMAE3?r?EMAM?AE7?7r?3 ??ACAC?AMMCAC?AM1?r7?7r1?ACCNDBEM???1 对?CDE以及截线BMN应用梅涅劳斯定理：
NDBEMCr77r?31???1，化简整理，得6r2?r?1?0，解得r? 即
1?r17?7r2∴
故M与N分别是AC和BD的中点
例2
在?ABC中，AM是中线，G在AM上且AG?2GM，过G的直线分别交线段AB,AC于E,F，交直线BC于D，求证：
BECF??1 EAFAA
证明 对?ABM,?ACM以及截线DEGF应用两次梅涅劳斯定理：
AEBDMGAFCDMG???1 ???1 EBDMGAFCDMGADBEMCGF∵AG?2GM ∴
BDBECDCF?2?2??① ??② DMEADMFABECF??1 EAFA而BD?CD?DM?BM?DM?CM?2DM ∴①+②即得
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