由于v (2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得 v2v2 mg－N2＝m，即N2＝m(g－)＝1.0×105 N rr由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×10 N，此即最小压力． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题 二、“旋转秋千” “旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型(如图8所示)，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，回答下列问题： 5 图8 (1)小球受到几个力的作用？什么力提供小球做圆周运动的向心力？ (2)“旋转秋千”缆绳与中心轴的夹角与什么有关(设人的质量为m，角速度为ω，绳长为l)? 答案 (1)受重力和绳子的拉力两个力的作用；绳子的拉力和重力的合力提供小球做圆周运动的向心力． (2)如图所示，设缆绳与中心轴的夹角为α，匀速圆周运动的半径为r F合＝mgtan α r＝lsin α 5 由牛顿第二定律得 F合＝mω2r 以上三式联立得 cos α＝2 ωl由此可以看出，缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关，而与所乘坐人的体重无关． g 如图9所示： 图9 (1)转动平面：水平面． (2)向心力：F合＝mgtan α. (3)圆周运动的半径：r＝lsin α. (4)动力学方程：mgtan α＝mωlsin α. (5)角速度ω＝ 2 glcos α ，周期T＝2π lcos α . g(6)特点：悬绳与中心轴的夹角α跟角速度和绳长有关，与球的重量无关，在绳长一定的情况下，角速度越大，绳与中心轴的夹角也越大． 例2 如图10所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．g取10 m/s，要使绳子与竖直方向成45°角，则：(小数点后保留两位) 2 图10 (1)该装置必须以多大的角速度转动才行？ (2)此时绳子的张力为多大？ 答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N. 6 解析 (1)小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝L′＋Lsin 45°.对小球受力分析如图所示，设绳对小球的拉力为T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力． 对小球利用牛顿第二定律可得： mgtan 45°＝mω2r① r＝L′＋Lsin 45°② 联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/s (2)T＝≈4.24 N. cos 45° 1．解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤： (1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面)． (2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等)． (3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程． (4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论． 2．几种常见的匀速圆周运动实例 图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度 ?Fcos θ＝mg??2??Fsin θ＝mωlsin θ2mg 或mgtan θ＝mωlsin θ a＝gtan θ ??Ncos θ＝mg?2?Nsin θ＝mωr? 或mgtan θ＝mrω2 a＝gtan θ ??F升cos θ＝mg?2??F升sin θ＝mωr 2 或mgtan θ＝mrω a＝gtan θ 7 ??N＝mg?2?F拉＝mBg＝mωr? 三、火车转弯 a＝ω2r 设火车转弯时的运动为匀速圆周运动． (1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？ (2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点． (3)当轨道平面与水平面之间的夹角为θ，转弯半径为R时，火车行驶速度多大轨道才不受挤压？ (4)当火车行驶速度v>v0＝gRtan θ时，轮缘受哪个轨道的压力？当火车行驶速度v gRtan θ时呢？ 答案 (1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使铁轨和车轮极易受损． (2)如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压． (3)火车受力如图丙所示，则 mv02 F＝mgtan θ＝，所以v0＝gRtan θ. R 8
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