20.(12分)已知椭圆C: (1)求椭圆C的方程;
=1(a>b>0)的焦距为
4,P2, 是C上的点.
,证明:直线AB(2)O为坐标原点,A,B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点,设
的斜率与OD的斜率的乘积为定值.
21.(12分)已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x-1.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当x∈(0,1]时,f(x)≤0,求实数a的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4—4:坐标系与参数方程(10分)
在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点. (1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.
23.选修4—5:不等式选讲(10分) 设函数f(x)=|x-a|+ (a≠0,a∈R). (1)当a=1时,解不等式f(x)≤5;
(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.
2018高考仿真卷·文科数学(二)
1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D
7.A 8.C 9.A 10.B 11.D 12.B 13.7 14. 15.56 16.3
17.解(1)由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即AB2=12+36-2×2 ×6cos150°=84,
所以AB=2 .
(2)在△ACD中,因为∠ACB=150°,∠ADC=45°,所以∠CAD=105°. 由正弦定理得 ,所以CD=3+ , 所以S△ACD= AC·CD·sin∠ACD = ×(3+ )×2 = +1).
18.解(1)在这100份订单中,购物金额位于区间[1000,1200)的有10份,位于区间[1200,1400]的有5份,则购物金额位于区间[1000,1400]的订单共有15份.利用分层抽样抽取6份,则位于区间[1000,1200)的有4份,用符号X1,X2,X3,X4表示,位于区间[1200,1400]的有2份,用符号Y1,Y2表示.从X1,X2,X3,X4,Y1,Y2中抽取2份,结果如下:X1X2,X1X3,X1X4,X2X3,X2X4,X3X4,X1Y1,X1Y2,X2Y1,X2Y2,X3Y1,X3Y2,X4Y1,X4Y2,Y1Y2,共计15个;设事件A表示“获赠小礼品的2位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1200,1400]”,所含基本事件如下:X1Y1,X1Y2,X2Y1,X2Y2,X3Y1,X3Y2,X4Y1,X4Y2,Y1Y2,共计9个,则P(A)=
.
(2)由直方图知,各组的频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05, 方案一:商家最高优惠的平均值为
(300×0.1+500×0.2+700×0.25+900×0.3+1100×0.1+1300×0.05)×0.2=150(元);
方案二:商家最高优惠的平均值为
30×0.1+50×0.2+140×0.25+160×0.3+280×0.1+320×0.05=140(元),由于150>140,所以方案一的优惠力度更大.
19.解(1)由BD⊥平面PAC,得BD⊥PA,
又平面PAB⊥平面ABC,
平面PAB∩平面ABC=AB,CB⊥AB, 所以CB⊥平面PAB,所以CB⊥PA, 所以PA⊥平面PBC.
(2)设AB=2,BC= ,
因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PB,
又PA=PB,所以PB= ,在直角三角形PBC中解得PC=2 , 又因为BD⊥PC, 所以CD= ,PD= .
因为三棱锥D-PAB的体积VD-PAB=VA-PBD= S△PBD×PA= ×BD×PD×PA, 三棱锥D-ABC的体积VD-ABC=VA-BCD= S△BCD×PA= ×BD×CD×PA, 所以 -
-
.
三棱锥D-PAB与三棱锥D-ABC的体积比为 . 20.解(1)椭圆C的焦距2c=4,即c=2,
设 =1,因为P2,
-
由 =1解得a2=5,
-
C:
在C上,
故椭圆C
2
的方程为 +y=1.
(2)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+n,
得(5k2+1)x2+10knx+5n2-5=0, 由
则x1+x2=-
,y1+y2=k(x1+x2)+2n=
,
知D(x1+x2,y1+y2),直线AB的斜率为k,直线OD的斜率由 kOD= =- ,
则k·kOD=- ,故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值- .
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