数列的基本性质和常用结论 

数列的基本性质和常用结论

一、等差数列 1.等差数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n，都有an?1?an?d（d为常数）?{an}为等差数列（定义法） （2）2an?1?an?an?2（n?N）?{an}为等差数列（等差中项）

*(3) an=pn+q (p， q为常数且p≠0)（即为关于n的一次函数） ?{an}为等差数列

(4) Sn?pn?qn (p， q为常数)（即为关于n的不含常数项的二次函数） ?{an}为等差数列

22.常用性质

(1) 若数列{an}，{bn}为等差数列，则数列{an?k}，{k?an}，{an?bn}，{kan?b}(k， b为非零常数)

均为等差数列.

(2) 对任何m，n?N，在等差数列{an}中，有an?am?(n?m)d，特别的，当m=1时，便得到等差数

*列的通项公式。另外可得公差d=

an?a1n?1，或d=

an?amn?m

*(3) 若m+n=p+q (m，n，p，q?N)，则an?am=ap?aq.特别的，当n+m=2k时，得an?am=2ak

(4) {an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即

a1?an?a2?an?1?a3?an?2????????ai?1?an?i????。

(5) 在等差数列{an}中，每隔k(k?N)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公

差为(k+1)d(例如：a1，a4，a7，a10??????仍为公差为3d的等差数列)

(6) 如果{an}是等差数列，公差为d，那么an，an?1，??????a2，a1也是等差数列，其公差为?d. (7) 若数列{an}为等差数列，则记Sk?a1?a2????????ak，S2k?Sk?ak?1?ak?2????????a2k，

S3k?S2k?a2k?1?a2k?2????????a3k，则Sk，S2k?Sk，S3k?S2k仍成等差数列，且公差为kd

2*3.等差数列前n项和公式：Sn?n(a1?an)2?na1?n(n?1)2d?d2n?(a1?2d2)n

4.等差数列前n项和Sn常用的基本性质：

*（1）在等差数列{an}中，当项数为2n (n?N)时，S偶?S奇?nd,S奇S偶?anan?1(即中间两项之比)，

* 当项数为2n +1(n?N)时，S偶?S奇?an?1,S奇S偶?n?1n(即奇偶项数之比)

a1?a2n?1n(a1?a2n?1)(2).若等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn,Tn(n为奇数)，则

anbn?S22??2n?1

b1?b2n?1n(b1?b2n?1)T2n?122(3)在等差数列{an}中.Sn=a，Sm?b，则Sn?m?Sn=m，Sm=n时Sn?m??(n?m)

n?mn?m(a?b)，特别地， 当Sn?Sm时，Sn?m?0， 当

(4) 若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列{Snn}也为等差数列.

(5) 记等差数列{an}的前n项和为Sn：①若a1>0，公差d<0，则当??an?0?an?1?0时，则Sn有最大值；②若a1<0，

?an?0公差d>0，则当?时，则Sn有最小值。求Sn最值的方法也可先求出Sn，再用配方法求解。

a?0?n?1二、等比数列 1.等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan(an?0)?2an?1an?q(q?0) ?{an}为等比数列（定义法）

（2）an?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}为等比数列（等比中项） (3) 若数列通项公式为：an?aqn?1(a,q是不为0的常数)?{an}为等比数列（通项公式法）

2.常用性质

(1).若数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{均为等比数列.

(2) 对任何m，n?N，在等比数列{an}中，有an?amq*n?m1an}，{k?an}，{an}，{a2n?1}，{anbn}{2anbn} (k为非零常数)

，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通

项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.

(3) 若m+n=p+q (m， n， p， q?N)，则an?am=ap?aq.特别的，当n+m=2k时，得an?am=ak (4) {an}是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积，即

*2

a1?an?a2?an?1?a3?an?2????????ai?1?an?i????。

(5) 在等比数列{an}中，每隔k(k?N)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为qk?1* (例如：a1，a4，a7，a10??????仍为公比q的等比数列)

1q3(6) 如果{an}是等比数列，公比为q，那么an，an?1，???a2，a1也是等比数列，其公比为

(8) q>1且{a1?0，则{an}为递减数列1na?0，则{a}为递增数列，0

当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当q<0时，该数列为摆动数列。

?a1(1?q)a1?anq?(q?1)?1?q项和公式：Sn??1?q

?(q?1)?na1　　　　　　　　n3.等比数列前n

４.等比数列前n项和Sn常用的基本性质：

(1) 在等比数列{an}中，当项数为2n (n?N)时，

*S奇S偶?1q，.

(2) 若数列{an}为等差数列，则记Sk?a1?a2????????ak，S2k?Sk?ak?1?ak?2????????a2k，

S3k?S2k?a2k?1?a2k?2????????a3k，则Sk，S2k?Sk，S3k?S2k仍成等比数列，且公差为q

k

三、通项公式an的求法

(1)观察法：各项的规律明显，对分式分别看分子和分母的规律。

(2)公式法：①利用等差数列或等比数列的通项公式.

②利用an与Sn的关系: an???S1　　　n=1?Sn?Sn?1　n?2 特别注意：该公式对一切数列都成立。

(3)累加法：an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1) (4)累乘法：an?a1?(a2a1)?(a3a2)?(a4a3)????????(anan?1)

四、数列前n项和Sn的求法

(1) 公式法：直接利用等差或等比数列求和公式

(2) 倒序相加法（参照等差数列前n项和公式的推导） (3) 错位相减法（参照等比数列前n项和公式的推导） (4) 分组求和法 (5) 裂项相消法