2012年10月自学考试线性代数试题及答案

全国2012年10月自学考试线性代数试题

课程代码：02198

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．设行列式A．-1 C．1

a1a2b1a=1，1b2a2?c1a??1，则行列式1?c2a2B．0 D．2

b1b2?c1?c2=

?123???*2．设矩阵A??456?，则A中位于第2行第3列的元素是

?709???A．-14 C．6

2B．-6 D．14

3．设A是n阶矩阵，O是n阶零矩阵，且A?E?O，则必有 A．A?A C．A?E

?1B．A??E D．A?1

4．已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则r(AT)= A．1

B．2

C．3 D．4

5．设向量组?1?(2,0,0)T,?2?(0,0,-1)T，则下列向量中可以由?1,?2线性表示的是 A．(-1，-1，-1)T C．(-1，-1，0)T

B．(0，-1，-1)T D．(-1，0，-1)T

?x1?x3?x4?06．齐次线性方程组?的基础解系所含解向量的个数为

x?x?2x?04?23A.1 C.3

B.2 D.4

7．设?1,?2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 A．?1??2 C．?1??2

B．?1??2 D．?1??2

121212??1???2

?18．若矩阵A与对角矩阵D??相似，则A= ???1???A.E C.-E

B.A D.2E

9．设3阶矩阵A的一个特征值为-3，则-A2必有一个特征值为 A.-9 C.3

B.-3 D.9

22210．二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的规范形为 22A．z1 ?z22 C．z1

22B．z1 ?z2222D．z1 ?z2?z3非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

12311.行列式111的值为______.

321?011???12.设矩阵A??001?，则A2=______．

?000????x1?2x2?3x3?1?13.若线性方程组??2x2?x3??2无解，则数?=______．

?(??1)x???3?14.设矩阵A???43??01?2，P=???,则PAP=______.

?21??10?T15.向量组?1?（k,-2,2）,?2?(4,8,?8)T线性相关，则数k=______.

16.已知A为3阶矩阵，?1,?2为齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则A?______. 17.若A为3阶矩阵，且A?1-1，则(3A)=______． 918．设B是3阶矩阵，O是3阶零矩阵，r(B)=1,则分块矩阵??EO??的秩为______． BB???211??1?????19．已知矩阵A??121?，向量???k?是A的属于特征值1的特征向量，则数

?322??1?????k=______.

20.二次型f(x1,x2)?6x1x2的正惯性指数为______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

a?b21．计算行列式D?abaaa?bb的值． ba?b?100??112?????22．设矩阵A??210?,B??022?，求满足方程AX=BT的矩阵X．

??222??046??????1???1??2??1?????????214?223.设向量组?1???,?2???,?3???,?4???，求该向量组的秩和一个极大线性

?3??0??6???1?????????4?43???????1?无关组.

?x1?x2?x3?x4?1?24．求解非齐次线性方程组?2x1?x2?x3?x4?4.(要求用它的一个特解和导出组的基础

?4x?3x?x?x?6234?1解系表示）.

?200???25．求矩阵A??020?的全部特征值和特征向量．

?002???22226．确定a，b的值，使二次型f(x1,x2,x3)?ax1?2x2?2x3?2bx1x3的矩阵A的特征值

之和为1，特征值之积为-12. 四、证明题（本题6分）

（A）?（A）． 27．设矩阵A可逆，证明：A*可逆，且

*?1?1*