2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式：
如果时间A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)
如果时间A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
kk率Pn?k??CnP?1?P?n?k
2球的表面积公式S?4?R，其中R表示球的半径 球的体积公式V?4?R3，其中R表示球的半径 3第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1?3i等于（ ） 3?iA．i B．?i C．3?i D．3?i
（1）复数解：1?3i1?3i1???i故选A 3?i?i(1?3i)?i2（2）设集合A?xx?2?2,x?R，B?y|y??x,?1?x?2，则CR?AB?????等于（ ）
A．R B．xx?R,x?0 C．?0? D．? 解：A?[0,2]，B?[?4,0]，所以CR?A2??B??CR{0}，故选B。
x2y2??1的右焦点重合，则p的值为（ ）（3）若抛物线y?2px的焦点与椭圆 62A．?2 B．2 C．?4 D．4
x2y2??1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0)，则解：椭圆62p?4，故选D。
22?a?b?a?b（4）设a,b?R，已知命题p:a?b；命题q:?，则p是q成立的??2?2?2（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条
件
22?a?b?a?b解：命题p:a?b是命题q:?等号成立的条件，故选B。 ??2?2??2x,x?0（5）函数y??2 的反函数是（ ）
??x,x?02?x?x2x,x?0,x?0,x?0????2x,x?0??A．y??2 B．y?? C．y??2 D．y??
????x,x?0???x,x?0??x,x?0???x,x?0??解：有关分段函数的反函数的求法，选C。 （6）将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a??????,0?6??平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的
解析式是（ ）
A．y?sin(x?C．y?sin(2x??) B．y?sin(x?) 66) D．y?sin(2x?) 33??????,0??6??平移，平移后的图象所对应的解析式为y?sin?(x?)，由图
67??3??)?象知，?(，所以??2，因此选C。 1262（7）若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0
4解：与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x在某一点的导数为
344，而y??4x，所以y?x在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0，故选A
sinx?a(0?x??)，下列结论正确的是（ ） （8）设a?0，对于函数f?x??sinx解：将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a???A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
sinx?a(0?x??)的值域为函数
sinxaay?1?,t?(0,1]的值域，又a?0，所以y?1?,t?(0,1]是一个减函减，故选B。
tt（9）表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
解：令t?sinx,t?(0,1]，则函数f?x??12222? B．? C．? D．?
33333a2?23知，a?1，解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8?4则此球的直径为2，故选A。
A．
?x?y?1?0?（10）如果实数x、y满足条件?y?1?0 ，那么2x?y的最大值为（ ）
?x?y?1?0?A．2 B．1 C．?2 D．?3 解：当直线2x?y?t过点(0，-1)时，t最大，故选B。
（11）如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形
C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形
解：?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?A1B1C1是锐角三角形，若?A2B2C2是
????sinA?cosA?sin(?A)A??A12112??22???????A2?B2?C2?，锐角三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，得?B2??B1，那么，
222??????sinC?cosC?sin(?C)C??C12112??22??所以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。
（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概．．率为（ ）
1234 B． C． D． 77773解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形，要得直角非等腰三角形，．．
A．
则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得所以选C。
24，3C82006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。 ．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
31??3x（13）设常数a?0，?ax2?展开式中的系数为，则?2x??lim(a?a2?????an)?_____。
n??4解：Tr?1?Car44?rx8?2rx1?r2，由x8?2rx1?r231r4?ra=知a=，所以?x3,得r?2,由C4221lim(a?a2?????an)?2?1，所以为1。 n??11?2BCD中，AB?a,AD?b,AN?3NC，（14）在AM为BC的中点，则MN?_______。
（用a、b表示）
解：由AN?3NC得4AN?3AC=3(a?b)，AM?a?1b，所以2MN?3111(a?b)?(a?b)??a?b。 4244（15）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1，若f?1???5,则f?x?f?f?5???__________。
11解：由f?x?2??得f?x?4???f(x)，所以f(5)?f(1)??5，则
f?x?f?x?2?11f?f?5???f(?5)?f(?1)???。
D1 f(?1?2)5（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方
体的一个顶点A在平面?内，其余顶点在?的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到?的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面?的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号） ．．
解：如图，B、D、A1到平面?的距离分别为1、2、4，则D、A1的中
C C1 A1
B1
D
?B
A 第16题图
点到平面?的距离为3，所以D1到平面?的距离为6；B、A1的中点到平面?的距离为所以B1到平面?的距离为5；则D、B的中点到平面?的距离为为3；C、A1的中点到平面?的距离为
5，23，所以C到平面?的距离27，所以C1到平面?的距离为7；而P为C、C1、B1、23?10????,tan??cot??? 43D1中的一点，所以选①③④⑤。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）已知（Ⅰ）求tan?的值；
5sin2（Ⅱ）求
?2?8sin?2cos?2?11cos2?2?8的值。
?2sin????2??102解：(Ⅰ)由tan??cot???得3tan??10tan??3?0，即
313?1tan???3或tan???，又????，所以tan???为所求。
343??5sin2（Ⅱ）
?2?8sin?2cos?2?11cos2?2?85???2sin????2??5?5cos??8sin??11?11cos??168sin??6cos?8tan??652===?。 ?6?22cos??22cos??221-cos?1+cos??4sin??11?822= ?2cos?（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用?表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出?的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求?的数学期望E?。（要求写出计算过程或说明道理） 解：（Ⅰ） ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 112232211 151515151515151515（Ⅱ）E??1?
112232221?2??3??4??5??6??7??8??9??5P 151515151515151515F
H A
O B 第19题图
C D E
（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF
所在平面外一点，PA?1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，ABF为等腰三角形， ∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO?1，2DO?33，BO?。 22过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以?AHD为所
求二面角平面角。
1721AO在AHO中，OH=，tan?AHO?。 ?2=7OH2122173DO21在DHO中，tan?DHO?； ?2?OH2217
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