函数的单调增区间为，单调减区间为，
综合①②的当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （5分)
(Ⅱ) 函数定义域为，
又，
令，
则，(7分)
，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，(8分)
有由（1）知当时，对，有，
即，
当且趋向0时，趋向，
随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，
46
而数
的增长速度则会越来越慢。故当的草图如图所示，
且趋向时，趋向，得到函
故①当
时，函数
有两个不同的零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数无零点；(10分)
（3）由（2）知当时，，故对，
先分析法证明：
要证
只需证
即证
构造函数
47
故函数在单调递增，
，
则成立. (12分)
①当上恒成立.
时，由（1）知，函数在单调递增，则在
②当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
故当时，，所以，则不满足题意.
综合①②得，满足题意的实数的取值范围[答案] 28.查看解析
. (14分)
[解析] 28.解：(Ⅰ) 因为，，
所以，.
因为曲线与在它们的交点处有相同切线,
所以, 且.
即, 且,
解得，. （3分）
48
(Ⅱ) 当时，，
所以.
[来源学&科&网Z&X&X&K]
令，解得，.
当变化时，，的变化情况如下表：
所以函数
↗ 0 ↘ 0 ↗ 极大值 的单调递增区间为
极小值 ，
，单调递减区间为. （5分）
故在区间内单调递增，在区间内单调递减.
从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ，
即，解得.
所以实数的取值范围是. （8分）
(Ⅲ) 当，时，.
49
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
由于，，所以. （9分）
①当，即时，.
②当时，.
③当时，在区间上单调递增，.
综上可知，函数在区间上的最小值为
（14分）
[答案] 29.查看解析 [解析] 29.
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