且。
（I）求和的解析式；
（II）；
（III）设，讨论议程的解的个数情况．
[解析] 30. (Ⅰ) , ①
即②
由①②联立解得: . ………………………………………………………………2分
是二次函数, 且, 可设,
由, 解得.
. ………………………………………………………………4分
(Ⅱ) 设,
,
依题意知: 当时,
, 在上单调递减,
26
………………………………………………………………6分
在上单调递增,
解得:
实数的取值范围为. ……………………………9分
(Ⅲ) 设, 由(Ⅱ) 知,
的图象如图所示:
设, 则
当, 即时, , 有两个解, 有个解;
当, 即时, 且, 有个
解; ……………………………………………………………………………………………………………11分
当, 即时, , 有个解;
当, 即时, , 有个解. ……13分
27
综上所述:
当时, 方程有个解;
当时, 方程有个解;
当时, 方程有个解;
当时, 方程有个解. …………………………………………………………………14分
31. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），21) 设函数 （Ⅰ）求函数
的单调区间
.
(Ⅱ) 若函数有两个零点，，且，求证：
[解析] 31. （Ⅰ）当
时，
，函数
在
上单调递增， ， （4分）
，
所以函数的单调递增区间为
当时，由，得；由，得
所以函数的单调增区间为，单调减区间为 ， （6分）
(Ⅱ) 因为是函数的两个零点，有
则，
两式相减得
即
28
所以 ，
又因为，当时，；当时，
故只要证即可，即证明 , （10分）
即证明，
即证明，
设. 令，
则所以
在
，因为
是增函数；又因为
，所以，当且仅当
时，
时，
总成立.
，所以当
所以原题得证. (13分)
32. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，21 ）已知函数
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
，设
（Ⅱ）若以函数求实数的最小值；
图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，
（Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四
个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
[解析] 32. （Ⅰ）
，
∵
，由
得
，∴
在
上是增函数.
29
由∴
得，∴在上是减函数.
. （4分）
的单调递减区间为，单调递增区间为
（Ⅱ）由 ，得恒成立，
即恒成立.
∵当时，取得最大值，∴，的最小值为. （8分）
（Ⅲ）若点，即
.
的图像与
有四个不同的根，亦即
的图像恰有四个不同交有四个不同的根. 令
则(x) =当变化时 的符号 的单调性 由上表知：
、
的变化情况如下表： （-，-1） （-1,0） + ↗ ,
- ↘ .
（0,1） + ↗ ，
（1，+） - ↘ 画出草图和验证，
可知，当时，与恰有四个不同交点.
∴当不同交点.
时，的图像与的图像恰有四个
33. (2014广州高三调研测试, 20) 设函数，.
（Ⅰ）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；
30
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