能性给出的个人信念。这样给出的概率称为主观概率。 2.例：气象预报中，“明天下雨的概率为90%”； 一个教师认为,“甲能考取大学的可能性为95%”。
1.3 概率的性质
本节包括概率的可加性、单调性、一般加法公式和连续性等内容，主要介绍概率的性质及利用性质计算概率。 一、概率的可加性
1.有限可加性 若有限个事件A1,A2,?An互不相容，则有
nn P(?Ai)?i?1?P(A)
ii?1证明 略。
2.对任一事件A，有：
P(A)?1?P(A )3.例 抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。
分析 略。 解 略。
二、概率的单调性
1．若A?B，则P(A?B)?P(A)?P(B)。 证明 略。
2．若A?B，则P(A)?P(B)。 证明 略。
3.对任意两个事件A，B，有
P(A?B)?P(A)?证明 略。
4.例 口袋中有编号为1,2,?,N的N个球，从中有放回地任取M次，求取出的M个球的最大号码为K的概率。
分析 略。
解 略。
三、概率的加法公式
1．对任意两个事件A，B，有 P(A?B)? 对任意n个事件A1,A2,?An，有
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P(A。B)
P(A)?P(B?)。B P(AnnP(?Ai)?i?1?P(A)??ii?11?i?j?nP(AiAj)??1?i?j?k?nP(AiAjAk)??(?1)n?1?P(A1A2?An)分析 略。 证 略。
2.对任意两个事件A，B，有
P(A?B)?证明 略。
例 已知事件A，B，A?B的概率为0.4，0.3，0.6，求P(AB)。 解 略。
四、概率的连续性
??P(A?)P(。B)
1．定义 对F中的任意单调不减的事件序列F1?F2??Fn?,称可列并?Fn为
n?1?Fn?的极限事件，记为
?? limFn?n????Fn?1n。
对F中的任意单调不增的事件序列E1?E2???En?，称?En为?En?的极限
n?1??事件，记为
??n???limEn??En?1n。
对F上的一个概率P，
（1） 若它对F中任一单调不减序列?Fn?，均成立
(n?)P limPFn???n???(lFinm，
则称概率P是下连续的。
（2） 若它对F中的任一单调不增序列{En}均成立 limP(En)?P(limEn)，
n???n???则称概率P是上连续的。
2.概率的连续性：若P是F上的概率，则P既是下连续又是上连续的。
证明 略。
3.定理 若P是F上满足P(?)=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是：
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（1）它是有限可加的； （2）它是下连续的。 证明 略。
1.4
条件概率
本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义
1.定义 设A，B是样本空间?中的两事件，若P(B)?0，则称
P(AB)P(B) P(A|B)?
为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。
2.性质 条件概率是概率，即若P(B)?0，则有 （1）P(A|B)?0,A?F; （2）P(?|B)?1;
（3）若F中的A1,A2,?An，…两两互不相容，则
???? P(?An|B)?n?1?Pn?1A(nB| ).证明 略。 二、乘法公式 1.若P(B)?0，则
P(AB)?P(B)P(A|B). 若P(A1A2?An?1)?0,
A? P(A12nA)?P(1A)P(2A|1A)P(3A|1?A2A)n(PA|1?AA 2?nA).证明 略。
2.例（罐子模型）设罐子中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加入c个同色球和d个异色球。记Bi为“第i次取出的是黑球”，Rj为“第j次取出的是红球”。求连续从罐中取出两个红球、一个黑球的概率。 分析 略。 解 略。
注 当c=-1,d=0时，为不返回抽样；
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当c=0,d=0时，为返回抽样； 当c>0, d=0时，为传染病模型； 当c=0, d>0时，为安全模型。
三、全概率公式
１．全概率公式：设B1,B2,?Bn为样本空间?的一个分割，即B1,B2,?Bn两两互不
n相容，且?Bi??，如果P(Bi)?0，i?1,2,?n, 则对任意事件Ａ，有
i?1n P(A)??P(B)P(A|B)。
iii?1证明 略。
２．例（摸彩模型）设在ｎ张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？ 分析 略。 解 略。 四、贝叶斯公式
１．贝叶斯公式 设B1,B2,?Bn是样本空间?的一个分割，即B1,B2,?Bn两两互不相
n容，且?Bi??，如果P(A)?0,P(Bi)?0，则
i?1 P(Bi|A?)P(BiP)A(Bi|n) .)?P(Bj?1jP)A(Bj|证明 略。
２．例 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，
化验结果是存有错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？
解答 略。
小结 条件概率的三大公式中，乘法公式是求交事件的概率，全概率公式是求一个复杂事件的概率，而贝叶斯公式是求一个条件概率。
1.5 独立性
本节内容包括两个事件的独立性、多个事件的相互独立性和试验的独立性等。主要介绍事件独立性的概念及有关独立性的概率的计算问题。
一、两个事件的独立性
定义 如果对于事件Ａ，Ｂ，有 P(AB)?P(A)P(，B)
则称事件Ａ,Ｂ相互独立，简称Ａ与Ｂ独立，否则称Ａ与Ｂ不独立或相依。
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