二、多个事件的相互独立性
１．定义：设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个事件，如果有 P(AB)? P(AC)? P(BC)?
则称Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立，若还有
P(ABC)?P(A)P(B)P(C)， 则称Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立。
２．定义：设有ｎ个事件A1,A2,?An，对任意的1?i?j?k???n，如果以下等式 均成立
Aj)? P(AiAjA)? P(AikP(A)P(jA) ，iP(A)P(jA)P(，Aik
P(A)P(，B) P(A)P(，C) P(B)P(，C)
?
(1P)A(2?)PAn(， ) P(A1A2?An)?PA则称此ｎ个事件相互独立。
３．例 设Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立，试证A?B与Ｃ相互独立。
证明 略。
例 有两名选手比赛射击，轮流对同一目标进行射击，甲命中目标的概率为?，乙命中目标的概率为?。甲先射，谁先命中谁得胜。问甲、乙两人获胜的概率各为多少？
解 略。
三、试验的独立性
1.定义 设有两个试验E1和E2，假如试验E1的任意结果（事件）与试验E2的任意结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。 类似可定义“多个试验相互独立”的概念。
2.例 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。若你每周买一次彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，你从未中奖的可能性是多少？
解答 略。
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第二章 随机变量及其分布
一、教材说明
本章内容包括随机变量及其分布函数，离散随机变量及其概率分布列，连续随机变量及其概率密度函数，随机变量的数学期望、方差和标准差及其性质，切比雪夫不等式，常用离散随机变量的分布和连续随机变量的分布，随机变量函数的分布等。随机变量及其分布是基础，随机变量的数字特征是分支，常用随机变量的介绍是应用。
1．教学目的与教学要求 本章的教学目的是：
（1）使学生理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；
（2）使学生理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率； （3）使学生会计算随机变量的数学期望、方差和标准差等；
（4）使学生熟练掌握（0-1）分布、二项分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等；
（5）使学生会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 本章的教学要求是：
（1）理解随机变量及分布函数的概念，会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；
（2）熟练掌握（0-1）分布、二项分布和正态分布、指数分布、均匀分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；
（3）应用公式求解随机变量函数的概率分布。
2．本章的重点与难点
本章的重点难点是理解随机变量密度分布函数的概念；掌握（0-1）分布、二项分布、正态分布、指数分布和均匀分布；重点掌握离散和连续随机变量相互独立的条件；掌握期望、方差的概念和计算，以及随机变量函数的计算。
三、教学内容
本章共分随机变量及其分布、随机变量的数学期望、随机变量的方差与标准差、常用离散分布和随机变量函数的分布等6节来讲述本章的内容。
2.1 随机变量及其分布
本节包括随机变量的的概念，随机变量的分布函数、离散随机变量的概率分布列和连续随机变量的概率密度函数。主要介绍随机变量的概念及分布函数的概念，学习两类不同的随机变量及其概率分布。
一、随机变量的概念
定义 定义在样本空间?上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。假如一个随机变量仅取有限个或可列个值,则称其为离散随机变量,假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b),则称其为连续随机变量,其中a可以是-?,b可以是+?.
二、随机变量的分布函数
1.定义 设X是一个随机变量,对任意实数x,称 F(x)?P(X?
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)x为随机变量X的分布函数,且称X服从F(x),记为X?F(x).有时也可用FX(x)表明是X的分布函数.
2.例 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数F(x),并求P(X>
23r).
分析 略. 解 略.
3.定理 任一分布函数F(x)都有如下三条基本性质:
（1）单调性: F(x)是定义在整个实数轴(??,??)上的单调非减函数，即对任意的
x1?x2，有F(x1)?F(x2)；
（2）有界性:
F(??)=limF(x)?0；
x???F(??)=limF(x)?1。
x???（3）右连续性:F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有 limF(x)?F(x0)，
x?x0?即 F(x0?0)?F(x0)。 证明 略。
注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算： P(a? P(X? P(X?等。
三、离散随机变量的概率分布列
１．定义 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1,x2,?xn?，则称X取xi的概率
)?P(X? pi?p(xiiX?)b?a)?F((F)b?a)?，(F aF(?，a
b)?1?F(b?，0x),?i1?,2,?n ,为X的概率分布列或简称为分布列，记为X~?pi?。
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分布列也可用下列形式表示： ?x1 ??p(x1)??
p(x2)?p(xn)??x2?xn?2.分布列的基本性质
(1)非负性：p(xi)?0,i?1,2,?;
??(2)正则性：?p(xi)?1.
i?1注 离散随机变量的分布函数为：F(x)?3.例 设离散随机变量X的分布列为
??1??0.2520.5?xi?xp(xi)。
3??， 0.25?试求P(X?0.5),P(1.5?X?2.5)，并写出X的分布函数。 解 略。
四、连续随机变量的概率密度函数
1. 定义 设随机变量Ｘ的分布函数为F(x)，如果存在实数轴上的一个非负可积函数
p(x)，使得对任意ｘ，有
F(x)??x??，d tp(t)则称Ｘ为连续随机变量，称p(x)为Ｘ的概率密度函数，简称为密度函数。
2、密度函数的基本性质 （１） 非负性：p(x)?0； （２） 正则性：?????p(x)dx?1；
3、例 已知随机变量Ｘ的密度函数为
?x,0?x?1;?2x?,x1? p(x)????0,其他。?2;试求Ｘ的分布函数。
解 略。
小结 注意分析“分布列”与“密度函数”的异同点。
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