高中数学选修1-1课时作业13：1.2.2 充要条件

人教版高中数学选修1-1课时作业

1.2.2 充要条件

基础过关

1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[[解析]] 当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数. [[答案]] A

2.设{an}是等比数列，则“a1

D.既不充分也不必要条件

[[解析]] {an}为等比数列，an＝a1·qn－1，由a10，q>1或a1<0，0

1

3.设x∈R，则“x＞2”是“2x2＋x－1＞0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

???11?

[[解析]] 因为{x|2x2＋x－1＞0}＝?x|x＞2或x＜－1?，所以?x|x＞2?

?

?

?

?

{x|2x2＋x－1

＞0}，故选A. [[答案]] A

4.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. [[解析]] 当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，

1

人教版高中数学选修1-1课时作业

其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，

所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. [[答案]] m＝－2 5.下列不等式：

①x<1；②0

其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为__________.

[[解析]] 由于x2<1即－1

[[答案]] ②③④

1

6.试说明0＜m＜3是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件. 解 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，

??m≠0，则?3??m＞0，

Δ＝4－12m＞0，

1

∴0＜m＜3.

1

反之，若0＜m＜3，

23

则m＞0，m＞0，－4＜－12m＜0，0＜4－12m＜4，

23

即Δ＞0，且m＞0，m＞0.

1

因此0＜m＜3是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的充要条件. 7.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac＜0.

证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， c

∴Δ＝b2－4ac＞0，且x1x2＝a＜0， ∴ac＜0.

c

充分性：由ac＜0可推出Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝a＜0，

2

人教版高中数学选修1-1课时作业

∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.

因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac＜0.

能力提升

8.在△ABC中，“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[[解析]] sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B ＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1， 又因为sin A≤1，所以sin A＝1. π

又因为0

若△ABC为直角三角形，则A不一定为直角，也可能为锐角，则sin A不一定取到最大值1，

即不一定有sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B ＝sin A≥1，

故“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件，故选A. [[答案]] A

11

9.若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜b或b＞a”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[[解析]] 因为0＜ab＜1，所以a，b同号，且ab＜1.

3

人教版高中数学选修1-1课时作业

1

当a＞0，b＞0时，显然有a＜b； 1

当a＜0，b＜0时，显然有b＞a，

11

故“0＜ab＜1”是“a＜b或b＞a”的充分条件.

11

而当a＜0，b＞0时，显然有a＜b且b＞a， 但推不出0＜ab＜1.

11

综上所述，“0＜ab＜1”是“a＜b或b＞a”的充分不必要条件，故选A. [[答案]] A

10.圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________. [[解析]] 圆心(0，0)到直线的距离为d＝由题意知d>1， ∴21＋k2

>1，两边平方得k2<3，

21＋k

2

，

∴－3

11.已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件.

[[解析]] 面面平行时一定有分别位于两个平面内的直线无公共点，但是分别位于两个平面内的直线无公共点时，这两个平面的关系可能是平行，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件. [[答案]] 必要不充分

12.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|， |x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.

4

人教版高中数学选修1-1课时作业

当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时. 又当x>0，y>0时，

|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立. 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立. 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立. ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0.

综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.

13.(选做题)已知函数f(x)＝3－（x＋2）（2－x）的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B. (1)求A；

(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解 (1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0， 化简整理得(x＋1)(x－1)≥0， 解得x≤－1或x≥1， ∴A＝{x|x≤－1或x≥1}.

(2)要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x)＞0， 即(x－a－1)(x－2a)＜0， 又∵a＜1，∴a＋1＞2a， ∴B＝{x|2a＜x＜a＋1}.

5